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場合の数と確率

扱うテーマ: 順列・円順列・重複順列、組合せ・重複組合せ、同じものを含む順列、確率の基本（和事象・余事象）、独立な試行の確率・反復試行、条件付き確率、期待値

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
大小 $2$ 個のさいころを同時に投げる。出た目の和が $5$ または $10$ になる場合は何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある食堂のランチでは、主菜をハンバーグ・焼き魚・からあげの $3$ 種類から $1$ つ選び、さらに飲み物をお茶・コーヒー・紅茶・ジュースの $4$ 種類から $1$ つ選ぶ。主菜と飲み物の選び方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある店のランチセットでは、主食を $1$ つ、飲み物を $1$ つ選ぶ。主食はパン $3$ 種類とごはん $2$ 種類の中から $1$ つ選び、飲み物は $4$ 種類の中から $1$ つ選ぶ。ただし、パンとごはんに同じものはないものとする。主食と飲み物の選び方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある部活動には $8$ 人の部員がいる。この $8$ 人の中から、部長・副部長・会計を $1$ 人ずつ選ぶ。 $1$ 人が $2$ つ以上の役を兼ねることはできないとき、選び方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある委員会には $9$ 人の委員がいる。この $9$ 人の中から、委員長・副委員長・書記を $1$ 人ずつ選ぶ。 $1$ 人が $2$ つ以上の役を兼ねることはできないとき、選び方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
異なる $7$ 冊の本の中から $3$ 冊を選び、本棚に左から $1$ 列に並べる。並べ方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある学校の文化祭で、出し物の準備を手伝ってくれる生徒の候補が $12$ 人いる。この $12$ 人の中から、準備係を $10$ 人選ぶ。選ばれた $10$ 人の間に役割の区別はないものとするとき、選び方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある部活動には部員が $12$ 人いる。この $12$ 人の中から、試合に出場する $10$ 人を選ぶ。選び方は全部で何通りあるか。ただし、選ぶ $10$ 人の間に順番や役割の区別はないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある部には部員が $12$ 人いる。この $12$ 人の中から、大会に出場する $10$ 人を選ぶ。選び方は全部で何通りあるか。ただし、選ばれた $10$ 人の間に役割の区別はないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個の合計 $7$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、取り出した $3$ 個のうち少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉が $4$ 個、白玉が $3$ 個、合わせて $7$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の中に白玉が少なくとも $1$ 個含まれる確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉 $5$ 個と白玉 $3$ 個、合計 $8$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、少なくとも $1$ 個は白玉である確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを 4 回続けて投げるとき、 $1$ の目がちょうど $2$ 回出る確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
あるバスケットボール選手がフリースローを $1$ 回投げるとき、成功する確率は $\frac{3}{5}$ である。この選手がフリースローを $4$ 回投げるとき、ちょうど $3$ 回成功する確率を求めよ。ただし、各回の成功・失敗はほかの回の結果に影響されないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある選手がバスケットボールのフリースローを $1$ 回投げるとき、成功する確率は $\frac{2}{3}$ である。この選手がフリースローを $4$ 回投げるとき、ちょうど $3$ 回成功する確率を求めよ。ただし、各回の成功・失敗は他の回の結果に影響しないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
箱の中に $8$ 個の製品が入っており、そのうち $2$ 個が不良品で、残りの $6$ 個は良品である。この箱から製品を $1$ 個取り出し、それを箱に戻さずに、続けてもう $1$ 個取り出す。 $1$ 個目が良品で、 $2$ 個目が不良品である確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$10$ 本のくじの中に当たりくじが $3$ 本入っている。このくじを、まず a が $1$ 本引き、引いたくじをもとに戻さずに、続けて b が $1$ 本引く。a と b がともに当たりくじを引く確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
当たりくじ $4$ 本を含む $12$ 本のくじがある。まず $A$ が $1$ 本引き、引いたくじはもとに戻さずに、続いて $B$ が $1$ 本引く。 $A$ がはずれ、 $B$ が当たる確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場では、製品を機械 $A$ と機械 $B$ の $2$ 台で作っている。全製品のうち $70%$ を機械 $A$ が、 $30%$ を機械 $B$ が作る。また、機械 $A$ で作られた製品の $2%$ 、機械 $B$ で作られた製品の $5%$ が不良品である。全製品の中から $1$ 個を無作為に取り出したところ、不良品であった。この製品が機械 $A$ で作られたものである確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場では、同じ製品を機械 $A$ と機械 $B$ の 2 台で作っている。全製品のうち、機械 $A$ で作られたものが $60%$ 、機械 $B$ で作られたものが $40%$ である。また、機械 $A$ で作られた製品の $2%$ 、機械 $B$ で作られた製品の $5%$ が不良品である。全製品の中から 1 個を無作為に選んだところ、不良品であった。この製品が機械 $B$ で作られたものである確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場では、同じ製品を機械 $A$ と機械 $B$ の 2 台で作っている。全製品のうち $70%$ を機械 $A$ が、残りの $30%$ を機械 $B$ が作っている。また、機械 $A$ が作った製品のうち $1%$ が不良品であり、機械 $B$ が作った製品のうち $4%$ が不良品である。全製品の中から 1 個を無作為に取り出したところ、不良品であった。この製品が機械 $B$ で作られたものである確率を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 枚の硬貨を同時に 1 回投げるゲームがある。参加するには参加料 $100$ 円を払い、次の規則で賞金を受け取る。
- 2 枚とも表が出たら、賞金 $300$ 円
- 1 枚だけ表が出たら、賞金 $100$ 円
- 2 枚とも裏が出たら、賞金なし（ $0$ 円）
このゲームに 1 回参加したとき、受け取る賞金から参加料 $100$ 円を引いた金額（損得の額）の期待値は何円か。
難易度 1（教科書の例題レベル）
参加費 $200$ 円を払って、次のゲームを $1$ 回行う。
硬貨を $3$ 枚同時に投げ、表が出た枚数に応じて賞金を受け取る。表が $3$ 枚なら $800$ 円、表が $2$ 枚なら $200$ 円を受け取り、表が $1$ 枚以下なら賞金はない。
受け取る賞金から参加費 $200$ 円を引いた金額（損得の金額。損をしたときは負の値とする）の期待値を求めよ。答えは円単位の数値で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $1$ 個の合計 $6$ 個の玉を、横一列に並べる。同じ色の玉どうしは区別しないものとするとき、並べ方は全部で何通りあるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
6 個の文字 $a, a, a, b, b, c$ をすべて 1 列に並べる。並べ方は何通りあるか。ただし、同じ文字どうしは区別しないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $1$ 個の合計 $6$ 個の玉を、横 $1$ 列に並べる。並べ方は全部で何通りあるか求めよ。ただし、同じ色の玉どうしは区別しないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ から $150$ までの整数のうち、 $3$ , $5$ , $7$ の少なくとも $1$ つで割り切れるものは何個あるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ から $210$ までの整数のうち、 $3$ でも $5$ でも $7$ でも割り切れないものは何個あるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ から $150$ までの整数のうち、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ の少なくとも $1$ つで割り切れる整数は何個あるか。
難易度 1（教科書の例題レベル）
A, B, C, D, E の 5 人が円形のテーブルに座る。回転して一致する座り方は同じものとみなすとき、A と B が隣り合う座り方は何通りあるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $2$ 個の合計 $7$ 個の玉を、左から右へ一列に並べる。同じ色の玉は互いに区別しないものとする。このとき、両端の玉が同じ色になる並べ方は何通りあるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを次の規則で投げ、得点を決める。
- さいころを投げて 5 以上の目が出たら、その時点で投げるのをやめ、そのとき出た目の数を得点とする。
- 4 以下の目が出たら、もう一度投げる。ただし、投げるのは最大 3 回までとする。
- 3 回投げて 3 回とも 4 以下の目が出た場合は、得点を $0$ とする。
このとき、得点の期待値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
円を中心角が等しい 6 つの扇形に分け、赤・青・黄・緑・白・黒の 6 色をすべて 1 回ずつ使って、各扇形を 1 色で塗る。回転して一致する塗り方は同じものとみなす。赤と青の扇形が隣り合わず、かつ黄と緑の扇形も隣り合わない塗り方は何通りあるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
箱の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、カードを箱に戻す。この操作を 3 回繰り返すとき、記録された 3 つの数字の中に $1$ と $5$ がどちらも少なくとも 1 回ずつ含まれる確率を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
7 個の文字 $A, A, B, B, B, C, C$ をすべて 1 列に並べる。左端の文字と右端の文字が同じであり、かつ 2 個の $C$ が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この袋から 2 枚のカードを同時に取り出し、次のように得点を定める。
- 取り出した 2 枚のカードに書かれた数の積が偶数のときは、その積を得点とする。
- 積が奇数のときは、得点を $0$ とする。
このとき、得点の期待値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
方程式 $x + y + z = 15$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ のうち、 $x, y, z$ がすべて奇数であるものは何組あるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $10$ 枚のカードが入っている。この袋からカードを $1$ 枚取り出し、書かれた数を記録してから袋に戻す。この操作を $3$ 回くり返す。記録された $3$ つの数の最大値が $9$ 以上であり、かつ最小値が $2$ 以下である確率を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋 A には赤玉 3 個と白玉 2 個が、袋 B には赤玉 2 個と白玉 4 個が入っている。1 個のさいころを 1 回投げ、1 または 2 の目が出たら袋 A を、それ以外の目が出たら袋 B を選ぶ。選んだ袋から玉を 2 個同時に取り出したところ、2 個とも赤玉であった。このとき、選んだ袋が A である確率を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 個の玉が入っている。この袋から玉を 2 個同時に取り出し、取り出した 2 個の玉に書かれた数のうち、大きい方から小さい方を引いた値を $X$ とする。 $X$ の期待値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ケーキ店で、ショートケーキ、チーズケーキ、モンブランの 3 種類のケーキから合計 $10$ 個を買う。どの種類も少なくとも $1$ 個は買い、モンブランは $4$ 個以下にする。このような買い方は何通りあるか。ただし、同じ種類のケーキは区別しないものとし、どの種類も十分な数があるものとする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
3 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が 10 になる確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、 $1$ または $2$ の目が出たら $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $P$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この試行を $6$ 回繰り返す。 $6$ 回の試行を終えたときに $P$ が原点にあり、かつ $3$ 回の試行を終えた時点では $P$ が原点にない確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出して色を確認し、その玉を袋に戻したうえで、取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に追加する。続けて、この袋から玉を $1$ 個取り出す。
$2$ 回目に取り出した玉が白玉であったとき、 $1$ 回目に取り出した玉が赤玉であった条件付き確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、出た目が $1$ または $2$ ならば $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目ならば $P$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この試行を $6$ 回繰り返す。
$6$ 回目の試行の直後に $P$ が原点にあり、かつ $1$ 回目から $5$ 回目までのどの試行の直後にも $P$ が原点にない確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$0, 1, 2, 3$ の $4$ 種類の数字を、同じ数字を何回使ってもよいものとして並べ、 $5$ 桁の正の整数を作る。ただし、最高位の数字は $0$ ではないとする。このような $5$ 桁の整数のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものは何個あるか。
(i) 隣り合う位の数字は常に異なる。
(ii) 数字 $0$ を少なくとも $1$ 回含む。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上を動く点 $P$ が、はじめ原点 $O$ にある。1 個のさいころを投げて、 $1$ または $2$ の目が出たら $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、 $3, 4, 5, 6$ の目が出たら $P$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この試行を $6$ 回繰り返す。 $6$ 回の試行を終えたとき $P$ が原点にあり、かつ $1$ 回目から $6$ 回目までのどの試行の直後にも $P$ の座標が負にならない確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
男子 $3$ 人、女子 $3$ 人、先生 $1$ 人の計 $7$ 人が、円形のテーブルのまわりに等間隔に並んだ $7$ つの席に座る。回転して一致する座り方は同じものとみなす。次の $2$ つの条件をともに満たす座り方は何通りあるか。
(条件1) 先生の両隣は、男子 $1$ 人と女子 $1$ 人である。
(条件2) 女子どうしはどの $2$ 人も隣り合わない。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $P$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この操作を $6$ 回続けて行う。
$6$ 回の操作を終えたとき $P$ が原点にあり、かつ $1$ 回目から $6$ 回目までのどの操作の直後にも $P$ の座標が $- 2$ 以下になっていない確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
A と B の $2$ 人が試合を繰り返し行い、先に $4$ 勝した方を優勝とする（優勝が決まった時点で試合をやめる）。 $1$ 回の試合で A が勝つ確率は $\frac{2}{3}$ 、B が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であり、引き分けはなく、各試合の結果は互いに独立であるとする。
A が優勝し、しかも試合の途中のどの時点においても、それまでの B の勝ち数が A の勝ち数を上回ることが一度もない確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$1$ から $9$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードがある。これらをよくまぜて、縦 $3$ 行・横 $3$ 列に並んだ $9$ つのマスに $1$ 枚ずつ無作為に置く。
$3$ つの行のうち、置かれた $3$ 枚のカードに書かれた数の和が $15$ である行が少なくとも $1$ つある確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
円周上に等間隔に並んだ $9$ か所の位置に、赤・青・黄の $3$ 色の玉を $1$ 個ずつ置く。各色の玉は何個でも使えて、使わない色があってもよい。ただし、隣り合う $2$ か所には異なる色の玉を置く。
回転して一致する置き方は同じものとみなすとき（裏返して一致するものは区別する）、置き方は全部で何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 5 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
さいころを $1$ 回投げ、出た目を $k$ とする。中の見えない袋に赤玉 $k$ 個と白玉 $6 - k$ 個の合計 $6$ 個の玉を入れる。この袋から玉を $2$ 個同時に取り出したところ、少なくとも $1$ 個は赤玉であった。この条件のもとで、袋に残った $4$ 個の玉から $1$ 個を取り出すとき、それが赤玉である条件付き確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
横一列に並んだ $6$ 枚の板を、左から順に $1$ 枚ずつ、赤・青・黄・緑の $4$ 色のうちいずれか $1$ 色で塗る。ただし、次の $2$ つの条件をともに満たすように塗る。
(条件1) 隣り合う $2$ 枚の板は異なる色で塗る。
(条件2) $4$ 色すべてを少なくとも $1$ 回は使う。
板はすべて区別し、塗り方は各板の色の組で区別する。このような塗り方は全部で何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 から 30 までの整数の中から、異なる 4 個の整数を選ぶ。選んだ 4 個のうち、どの 2 個の差も 3 以上であり、さらに最大のものと最小のものの差が 20 以下であるような選び方は何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ が $12$ の倍数になる確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ の数字が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがある。これらをよくまぜて、無作為に横 1 列に並べる。同じ数字が書かれたカードどうしがどこでも隣り合わない確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5$ の番号が書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 5 枚入っている。次の規則でゲームを行う。
- 袋からカードを 1 枚取り出し、番号を確認する。取り出したカードは袋に戻さない。
- 1 枚目または 2 枚目を取り出した直後には、「やめる」か「続ける」かを選べる。やめた場合は、最後に取り出したカードの番号が得点となり、ゲームは終わる。
- 3 枚目を取り出したときは必ずやめ、その番号が得点となる。
得点の期待値が最大になるように「やめる」か「続ける」かを選ぶとき、得点の期待値を求めよ。ただし、カードの取り出し方は同様に確からしいものとする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
区別のつかない $12$ 個の玉を、区別のつく $4$ つの箱 $A, B, C, D$ にすべて入れる。空の箱があってもよいが、どの箱にも玉は $5$ 個以下しか入れられない。このとき、箱 $A$ に入る玉の個数が箱 $B$ に入る玉の個数より多くなるような入れ方は何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
箱の中に、見た目では区別のつかない 3 枚の硬貨 $A$ , $B$ , $C$ が入っている。1 回投げたときに表が出る確率は、 $A$ が $1$ （両面とも表）、 $B$ が $\frac{1}{2}$ 、 $C$ が $\frac{1}{3}$ である。
箱から硬貨を 1 枚無作為に取り出し、その硬貨を続けて投げる。3 回投げたところ、3 回とも表が出た。このとき、同じ硬貨をもう 1 回（4 回目）投げて表が出る確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a, a, a, b, b, b, c, c$ の $8$ 個の文字をすべて $1$ 列に並べる。同じ文字どうしがどこも隣り合わない並べ方は何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $k$ とする。次に、赤玉 3 個と白玉 3 個の合計 6 個の玉が入った袋から、 $k$ 個の玉を同時に取り出す。取り出した玉の中に赤玉がちょうど 2 個含まれていたとき、さいころの出た目が偶数である条件付き確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$+ 1$ と書かれたカード $13$ 枚と、 $- 2$ と書かれたカード $6$ 枚の、合計 $19$ 枚のカードがある。同じ数が書かれたカードは区別しない。これらをすべて横 $1$ 列に並べ、左端のカードから順に書かれた数を足していく。左から $1$ 枚目までの和、 $2$ 枚目までの和、…、 $19$ 枚目までの和がすべて正となる並べ方は何通りあるか。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$1$ 個のさいころを $10$ 回続けて投げる。 $k = 1, 2, \dots, 10$ に対して、 $1$ 回目から $k$ 回目までに出た目の和を $S_{k}$ とする。 $10$ 個の数 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{10}$ のうち、 $7$ の倍数であるものがちょうど $2$ 個である確率を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
円周上に $6$ つの箱 $A, B, C, D, E, F$ がこの順に並んでおり、 $A$ と $B$ 、 $B$ と $C$ 、 $C$ と $D$ 、 $D$ と $E$ 、 $E$ と $F$ 、 $F$ と $A$ がそれぞれ隣り合っている。互いに区別のつかない $15$ 個の玉を、これらの箱にすべて入れる。空の箱があってもよいが、隣り合う $2$ つの箱がともに空になってはならない。このような玉の入れ方は何通りあるか。ただし、箱は互いに区別でき、各箱に入れられる玉の個数に上限はないものとする。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
1 個のさいころを $6$ 回続けて投げる。 $6$ 回のうちから異なる $2$ 回を選び、その $2$ 回に出た目の和を $7$ にすることができる確率を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
正五角形 $ABCDE$ があり、頂点は反時計回りにこの順に並んでいる。点 $P$ ははじめ頂点 $A$ にある。1 個のさいころを投げ、出た目の数だけ $P$ を反時計回りに隣の頂点へ 1 つずつ移動させる操作をくり返す。ただし、次の規則で操作を終える。
- 操作の後に $P$ が頂点 $A$ に止まっていれば、その時点で終了する（移動の途中で $A$ を通過しただけでは終了しない）。
- $P$ が $A$ に止まらなくても、さいころを $4$ 回投げたら終了する。
さいころを投げる回数の期待値を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
1 個のさいころを $8$ 回続けて投げる。 $k = 1, 2, \dots, 8$ に対して、 $1$ 回目から $k$ 回目までに $3$ 以上の目が出た回数を $a_{k}$ 、 $2$ 以下の目が出た回数を $b_{k}$ とする。 $k = 1, 2, \dots, 8$ のすべてに対して $a_{k} ≧ b_{k}$ が成り立つ確率を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
円周上に等間隔に $8$ つの位置があり、それぞれの位置に赤・青・黄のいずれかの色の玉を $1$ 個ずつ置く。各色の玉は十分な個数があり、同じ色の玉どうしは区別しない。次の $2$ つの条件をともに満たす置き方は何通りあるか。ただし、回転して一致する置き方は同じものとみなし、裏返して一致するだけのものは異なるものとみなす。
$(1)$ 隣り合う $2$ つの位置には、異なる色の玉を置く。
$(2)$ 赤・青・黄の $3$ 色すべてを少なくとも $1$ 回ずつ使う。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
1 個のさいころを繰り返し投げる。出た目の合計が $7$ 以上になった時点で、投げるのをやめる。
やめた時点での出た目の合計が $10$ であったとき、途中のある回までに出た目の合計が、ちょうど $4$ になったことがある条件付き確率を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
円周上に等間隔に $8$ 個の点があり、時計回りに順に $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{8}$ と名前が付いている。赤玉 $2$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $2$ 個、黄玉 $2$ 個の合計 $8$ 個の玉を、各点に $1$ 個ずつ置く。ただし、同じ色の玉は互いに区別しない。円周上で隣り合う $2$ 点（ $P_{i}$ と $P_{i + 1}$ $(i = 1, 2, \dots, 7)$ 、および $P_{8}$ と $P_{1}$ ）に同じ色の玉が置かれないような置き方は何通りあるか。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$1$ から $20$ までの整数の中から異なる $5$ 個を選び、小さい順に $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5}$ とする。隣り合う $2$ 数の差
$a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, a_{5} - a_{4}$
がすべて奇数となるような選び方は何通りあるか。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
1 個のさいころを $5$ 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ が $72$ の倍数となる確率を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$1$ から $7$ までの番号が $1$ つずつ書かれた番号札をつけた $7$ 人が、円形のテーブルのまわりに等間隔に並んだ $7$ つの席に座る。回転して一致する座り方は同じものとみなし、裏返して一致する座り方は異なるものとみなす。
番号の差が $1$ である $2$ 人（ $1$ と $2$ 、 $2$ と $3$ 、 $\dots$ 、 $6$ と $7$ ）がどこでも隣り合わないような座り方は何通りあるか。ただし、 $7$ と $1$ の差は $6$ であり、この $2$ 人は隣り合ってもよい。