場合の数と確率の問題

差がすべて奇数で、しかも正であるから、$0$ 以上の整数 $y_1,y_2,y_3,y_4$ を用いて
$$a_{i+1}-a_i=2y_i+1(i=1,2,3,4)$$
と表せる。逆に、$a_1$ と $y_1,\dots ,y_4$ を与えると $a_2,\dots ,a_5$ はただ $1$ 通りに定まり、$a_1<a_2<\cdots <a_5$ となる。

$S=y_1+y_2+y_3+y_4$ とおくと
$$a_5=a_1+4+2S$$
である。$1$ から $20$ までの範囲に入る条件は $a_1\geqq 1$ かつ $a_5\leqq 20$、すなわち
$$a_1\geqq 1,a_1+2S\leqq 16(1)$$
となる。よって、求める個数は $(1)$ を満たす整数の組 $(a_1,y_1,y_2,y_3,y_4)$（$y_i\geqq 0$）の個数に等しい。

$a_1$ の偶奇で分けるために、$a_1-1$ を $2$ で割った商を $u$、余りを $r$ とし、
$$a_1-1=2u+r(u\geqq 0,r\in \{0,1\})$$
と表す。この表し方は $1$ 通りである。$(1)$ の $a_1+2S\leqq 16$ は
$$2u+r+1+2S\leqq 16⟺2(u+S)\leqq 15-r$$
となる。

• $r=0$ のとき：$u+S\leqq \frac{15}{2}$ より $u+S\leqq 7$
• $r=1$ のとき：$u+S\leqq 7$

となり、どちらの場合も条件は
$$u+y_1+y_2+y_3+y_4\leqq 7$$
である。

これを満たす $0$ 以上の整数の組 $(u,y_1,y_2,y_3,y_4)$ を数える。$0$ 以上の整数 $w$ を加えて等式
$$u+y_1+y_2+y_3+y_4+w=7$$
に直すと、組と解は $1$ 対 $1$ に対応する。これは $6$ 種類のものから重複を許して $7$ 個取る重複組合せの数であり、
$${}_6{\mathrm{H}}_7={}_{12}{\mathrm{C}}_5=792$$
である。$r=0,1$ のそれぞれについて $792$ 通りずつあるから、求める選び方の数は
$$2\times 792=1584\text{(通り)}$$
である。

隣り合う差がすべて奇数なので、$a_1,\dots ,a_5$ の偶奇は交互になる。差を $a_{i+1}-a_i=2e_i+1$ ($e_i\ge 0$ は整数) とおき、$a_1=s(\ge 1)$、$E=e_1+e_2+e_3+e_4$ とする。

すると $a_5=s+4+2E\le 20$ より $s+2E\le 16$ である。

$E$ を固定すると、$(e_1,\dots ,e_4)$ の組は ${}_{E+3}{C}_3$ 通りあり、$s$ は $1$ から $16-2E$ までの $16-2E$ 通りある。ただし $E\le 7$ である。

したがって求める個数は ${\sum }_{E=0}^7(16-2E){}_{E+3}{C}_3$ である。

各項は次のとおり。
- $E=0$: $16\cdot 1=16$
- $E=1$: $14\cdot 4=56$
- $E=2$: $12\cdot 10=120$
- $E=3$: $10\cdot 20=200$
- $E=4$: $8\cdot 35=280$
- $E=5$: $6\cdot 56=336$
- $E=6$: $4\cdot 84=336$
- $E=7$: $2\cdot 120=240$

合計は $1584$ である。

検算として、この方法を「$1$ から $4$ の中から $2$ 個を選び差が奇数」の場合に当てはめる。$s+2e\le 3$ より $e=0$ で $3$ 通り、$e=1$ で $1$ 通りとなり計 $4$ 通り。実際に $(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)$ の $4$ 通りで、一致する。