場合の数と確率の問題

点には名前が付いているので、回転して一致する置き方も別のものとして数える。

手順 1：一列の場合を数える。
${\mathrm{P}}_1,\dots ,{\mathrm{P}}_8$ を一列とみなし、${\mathrm{P}}_8$ と ${\mathrm{P}}_1$ の隣接は考えずに「${\mathrm{P}}_i$ と ${\mathrm{P}}_{i+1}$ $(i=1,\dots ,7)$ に同じ色が来ない」置き方の数 $L$ を求める。

色 $X$ について「$X$ の $2$ 個が一列で隣り合う」という条件を $A_X$ とする。特定の $k$ 色についてそれぞれ $2$ 個が隣り合う置き方は、その $k$ 色の $2$ 個を $1$ つのかたまりとみなすと、$k$ 個のかたまり（互いに区別できる）と残り $4-k$ 色の玉 $2$ 個ずつ、合計 $8-k$ 個のものの並べ方であるから
$$\frac{(8-k)!}{2^{4-k}}\text{通り}.$$
色の選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_k$ 通りなので、包除原理により
$$L=\frac{8!}{2^4}-{}_4{\mathrm{C}}_1\frac{7!}{2^3}+{}_4{\mathrm{C}}_2\frac{6!}{2^2}-{}_4{\mathrm{C}}_3\frac{5!}{2}+{}_4{\mathrm{C}}_{4}4!$$
$$=2520-4\cdot 630+6\cdot 180-4\cdot 60+24=2520-2520+1080-240+24=864.$$

手順 2：${\mathrm{P}}_8$ と ${\mathrm{P}}_1$ が同色になるものを除く。
求める置き方は、手順 1 の $864$ 通りのうち、${\mathrm{P}}_1$ と ${\mathrm{P}}_8$ が同じ色であるものを除いたものである。

${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_8$ がともに赤のとき、残りの ${\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_7$ には白・青・黄が $2$ 個ずつ置かれる。${\mathrm{P}}_1$ と ${\mathrm{P}}_2$、${\mathrm{P}}_7$ と ${\mathrm{P}}_8$ は赤とそれ以外なので自動的に異なる色であり、条件は「${\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_7$ の一列で同じ色が隣り合わない」ことだけになる。

この数を同様に包除原理で求めると
$$\frac{6!}{2^3}-{}_3{\mathrm{C}}_1\frac{5!}{2^2}+{}_3{\mathrm{C}}_2\frac{4!}{2}-{}_3{\mathrm{C}}_{3}3!=90-90+36-6=30.$$
両端の色は $4$ 通りあるので、${\mathrm{P}}_1$ と ${\mathrm{P}}_8$ が同色のものは $4\times 30=120$ 通り。

手順 3：結論。
$$864-120=744.$$

（検算：円周上で直接包除原理を用いると、特定の $k$ 色がそれぞれ円周上で隣り合う置き方は $\frac{8}{8-k}\cdot \frac{(8-k)!}{2^{4-k}}$ 通りで、
$2520-4\cdot 720+6\cdot 240-4\cdot 96+48=744$ となり一致する。）

よって答えは $744$ 通り。

置き方の総数は $\frac{8!}{2^4}=2520$ 通り。色 $i$ の2個が隣り合う事象を $A_i$ として、包除原理で数える。

・1色が隣り合う場合：隣り合う2点の選び方は8通り。残り6点に3色を2個ずつ置く方法は $\frac{6!}{2^3}=90$ 通り。よって $8\cdot 90=720$ 通りで、$S_1=4\cdot 720=2880$。

・2色が隣り合う場合：円周 $C_8$ から共通点のない2辺を選ぶ方法は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)-8=20$ 通り。2色の割り当ては2通りで、計40通り。残り4点に2色を2個ずつ置く方法は $\frac{4!}{2^2}=6$ 通り。よって $40\cdot 6=240$ 通りで、$S_2=6\cdot 240=1440$。

・3色が隣り合う場合：共通点のない3辺の選び方は $\frac{8}{5}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=16$ 通り。色の割り当ては $3!=6$ 通り。残り2点は残りの1色で決まる。よって $16\cdot 6=96$ 通りで、$S_3=4\cdot 96=384$。

・4色が隣り合う場合：円周の完全マッチングは2通り。色の割り当ては $4!=24$ 通り。よって $S_4=2\cdot 24=48$。

求める数は
$2520-2880+1440-384+48=744$ 通り。