場合の数と確率の問題
円周上に つの箱 がこの順に並んでおり、 と 、 と 、 と 、 と 、 と 、 と がそれぞれ隣り合っている。互いに区別のつかない 個の玉を、これらの箱にすべて入れる。空の箱があってもよいが、隣り合う つの箱がともに空になってはならない。このような玉の入れ方は何通りあるか。ただし、箱は互いに区別でき、各箱に入れられる玉の個数に上限はないものとする。
この問題で使うもの
- 和の法則・積の法則と樹形図（説明と入口の問題）
- 組合せ（説明と入口の問題）
- 同じものを含む順列・重複組合せ（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（6 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
どの箱が空になるかで場合分けしましょう。空の箱の個数 ごとに、空の箱の選び方と、残りの箱への玉の入れ方を別々に数えます。
ヒント 2
空の箱どうしが円周上で隣り合わないように選ぶ方法を数えます（ と も隣り合うことに注意）。空でない 個の箱に 個の玉を各箱 個以上入れる方法は 通りです。
ヒント 3
空の箱の選び方は のときそれぞれ 通りで、 はありえません。対応する玉の入れ方は 通りです。
答えと解説
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どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
空になる箱の集合を 、その個数を とし、 で場合分けして数える。
(1) 空の箱の選び方
条件は「 に属する箱がどの つも隣り合わない」ことである。 個の箱は円周上に並んでいるので、 と の隣接にも注意する。
- ： 通り。
- ：どの箱を選んでもよいので 通り。
- ： 箱の選び方 通りから、隣り合う 箱の組 通り（）を除いて 通り。
- ： 箱の円周上で互いに隣り合わない 箱は、 つおきに選ぶしかないので と の 通り。
- ：空でない箱が 個以下となり、空の箱が 個以上あるとどこかで空の箱が隣り合うので 通り。
(2) 玉の入れ方
を決めたとき、残りの 個の箱にはそれぞれ 個以上の玉が入る（空になるのは の箱だけ）。 個の区別のつかない玉を 個の区別できる箱に、各箱 個以上となるように入れる方法は、 個の玉の間の か所の隙間から仕切りを入れる か所を選ぶことに対応するので 通りである。
- （）：
- （）：
- （）：
- （）：
(3) 合計
よって、求める入れ方は 通りである。
別解
箱 A〜F に入れる玉の個数を とする。、 で、円環上で隣り合う 2 つがともに になることはない。\n\n空の箱の集合 は、6 角形の頂点の独立集合（隣り合う頂点を含まない集合）である。 とすると、残りの 個の箱には 1 個以上ずつ入る。その入れ方は 通りである。\n\n6 角形の独立集合の個数は、大きさごとに次のとおり。\n- : 1 個\n- : 6 個\n- : 個\n- : 2 個（A,C,E と B,D,F）\n- : 0 個\n\nよって求める場合の数は次のようになる。\n\n\n\n検算：各項の二項係数は で、上の計算と一致する。