場合の数と確率の問題

方針 まず $8$ つの位置に番号 $1,2,\dots ,8$ を付けて区別して数え、そのあと回転で同じとみなされるものをまとめる。

(i) 位置を区別したときの個数

位置 $1,2,\dots ,n$ に順に色を置く。隣り合う位置（$k$ と $k+1$）が異なる色となる並べ方のうち、両端（位置 $1$ と位置 $n$）の色が異なるものを $b_n$ 個、同じものを $c_n$ 個とする。

隣り合う位置が異なる色となる並べ方の総数は、位置 $1$ が $3$ 通り、以降は各位置とも直前と異なる $2$ 通りなので $3\cdot 2^{n-1}$ 通りである。よって
$$b_n+c_n=3\cdot 2^{n-1}.$$
また、両端が同じ色の並べ方は、位置 $n$ を取り除くと、位置 $1$ と位置 $n-1$ の色が異なる長さ $n-1$ の並べ方になる。逆に、そのような並べ方に位置 $1$ と同じ色を位置 $n$ として付け加えればよい。したがって $c_n=b_{n-1}$ となり、
$$b_n=3\cdot 2^{n-1}-b_{n-1}.$$
$b_2=6$ から順に計算すると
$$b_3=12-6=6,b_4=24-6=18,b_5=48-18=30,$$
$$b_6=96-30=66,b_7=192-66=126,b_8=384-126=258.$$
円周上では位置 $8$ と位置 $1$ も隣り合うので、条件 $(1)$ を満たす置き方（位置を区別する）は $b_8=258$ 通りである。

このうち $2$ 色しか使わないものは、$2$ 色が交互に並ぶものだけである。色の選び方が ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り、位置 $1$ の色が $2$ 通りなので $6$ 通りある。$1$ 色だけのものは条件 $(1)$ に反する。よって条件 $(1)$, $(2)$ をともに満たすもの（位置を区別する）は
$$258-6=252\text{通り}.$$

(ii) 回転で同じものをまとめる

ある置き方が $k$ 個分の回転（$1\le k\le 7$）で自分自身に一致するとする。このとき $\gcd (k,8)$ 個分の回転でも一致するので、$1$ 個分・$2$ 個分・$4$ 個分の回転で一致するかどうかを調べればよい。

• $1$ 個分の回転で一致すると、全部同じ色になり、条件 $(1)$ に反する。
• $2$ 個分の回転で一致すると、奇数番の位置どうし、偶数番の位置どうしがそれぞれ同じ色になり、$2$ 色以下しか使えず、条件 $(2)$ に反する。
• $4$ 個分の回転で一致するものは、位置 $1\sim 4$ の色の並びが位置 $5\sim 8$ でそのまま繰り返されるものである。条件 $(1)$ は「位置 $1\sim 4$ を円周上の $4$ つの位置とみて、隣り合う色が異なる」ことと同じになる。条件 $(2)$ は、その $4$ つで $3$ 色すべてを使うことと同じになる。$4$ つの位置で $3$ 色を使うので、ちょうど $1$ 色が $2$ 回使われ、その $2$ つは隣り合わない（向かい合う）位置にある。$2$ 回使う色の選び方が $3$ 通り、向かい合う位置の組の選び方が $2$ 通り、残り $2$ つの位置への残り $2$ 色の置き方が $2$ 通りなので、$3\cdot 2\cdot 2=12$ 通りある。

$4$ 個分の回転で一致するが $1$ 個分・$2$ 個分では一致しない $12$ 通りは、回転すると $4$ 通りずつが同じものになる。よって $12÷4=3$ 通りである。

残りの $252-12=240$ 通りは、どの回転（$1\sim 7$ 個分）でも自分自身に一致しない。したがって回転すると $8$ 通りずつが同じものになり、$240÷8=30$ 通りである。

以上より、求める置き方は
$$30+3=33\text{通り}.$$

条件(1)を満たす置き方は、位置に番号を付けて数えると、円周上の8点の彩色で隣り合う色が異なるものである。3色での個数は $(3-1{)}^8+(3-1)=258$ 通り。

このうち2色だけを使うものは、色の組が3通り、交互に置く向きが2通りで $6$ 通り。したがって3色すべてを使うものは $258-6=252$ 通り。

回転を同一視するのでバーンサイドの補題を使う。回転は $0,1,\dots ,7$ 個ぶん回す8通り。
- 回転 $0$: $252$ 通り。
- 回転 $4$: 周期4の配置で、長さ4の円周の隣接条件つき彩色は $2^4+2=18$ 通り。うち2色だけのものは $6$ 通りなので、3色使うものは $12$ 通り。
- 回転 $2,6$: 周期2の配置で、使える色は高々2色なので $0$ 通り。
- 回転 $1,3,5,7$: 周期1の配置で、隣り合う色が同じになるので $0$ 通り。

よって $\frac{252+12}{8}=\frac{264}{8}=33$。

検算: 回転 $4$ で固定されないものは、回転の位数が8の配置と、位数が2の配置に分けられる。位数が8の配置は $252-12=240$ 通りで、$240/8=30$ 個の同値類になる。位数が2の配置は $12$ 通りで、$12/4=3$ 個の同値類になる。合計 $30+3=33$ となり一致する。