場合の数と確率の問題
円周上に等間隔に並んだ か所の位置に、赤・青・黄の 色の玉を 個ずつ置く。各色の玉は何個でも使えて、使わない色があってもよい。ただし、隣り合う か所には異なる色の玉を置く。
回転して一致する置き方は同じものとみなすとき（裏返して一致するものは区別する）、置き方は全部で何通りあるか。
この問題で使うもの
- 和の法則・積の法則と樹形図（説明と入口の問題）
- 順列・円順列・重複順列（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
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ヒント 1
まず か所の位置を区別して数え、そのあとで回転して一致するものがいくつずつまとまるかを考えましょう。ただし、回転させても変わらない置き方があると、単純に で割ることはできません。
ヒント 2
円形に か所並べる置き方の数を とします。一列に並べて「両端の色が同じ場合」と「異なる場合」に分けると、 が成り立ちます。
ヒント 3
位置を区別すると 通りです。ある置き方を変えない最小の回転数は の約数 のどれかで、 か所回転しても変わらない置き方は位置 の色がすべて異なるものに限られます。
答えと解説
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解説を読む
1. 位置を区別したときの数
まず か所の位置を と番号で区別して数える。一般に、円周上に か所（）の位置があるとき、隣り合う位置が異なる色になる置き方の数を とする。
位置 に「隣り合う番号どうしは異なる色」となるように並べる方法（両端の と は同じ色でもよい）は、位置 が 通り、以降は直前と異なる色で 通りずつなので 通り。このうち
- 位置 と位置 の色が異なるもの … ちょうど円形の条件を満たすので 通り
- 位置 と位置 の色が同じもの … 位置 を取り除くと、位置 と位置 の色が異なる か所の円形の置き方になり、逆にそのような置き方から位置 の色（位置 と同じ色）がただ 通りに決まる。よって 通り（）
したがって である。 は 色をすべて異なる位置に置く場合で 。順に
よって、位置を区別すると 通りである。
2. 回転で同じになるものをまとめる
置き方 を か所だけ回転したものを の「 回転」と呼ぶ（ 回転はもとに戻る）。 を変えない回転のうち最小の正の回転数を とする。
- は の約数である。実際、 と書くと、 回転（もとに戻る）から 回転を逆向きに 回行ったもの、すなわち 回転も を変えない。 の最小性から 。
- 回転、 回転、…、 回転した 個の置き方はすべて異なり（同じものがあれば より小さい正の回転で変わらないことになる）、それ以外の回転はこのどれかと一致する。よって を回転して得られる置き方はちょうど 個である。
したがって の場合を調べればよい。
- ： か所すべて同じ色になるが、隣り合う色が同じなので条件を満たさない。 個。
- ：位置 と位置 の色が常に等しい置き方で、位置 の色で決まる。位置 と位置 （位置 と同じ色）も隣り合うので、位置 の色はすべて異なる必要があり、逆にそうであれば条件を満たす。よって 個。これらは ではないので、最小の回転数はちょうど である。
- ：残りの 個。
回転して一致するものをまとめると、 の 個は 個ずつまとまって 通り、 の 個は 個ずつまとまって 通りとなる。
よって、求める数は 通りである。
別解
まず、9 か所に番号を付けて区別したときの置き方（隣り合う 2 か所は異なる色、位置 9 と位置 1 も隣り合う）の総数を求める。 か所の円環を 色で隣り合う色が異なるように塗る方法は 通り（, などで確認できる）。よって 通り。
次に回転で一致するものを同一視する。回転で動かしても変わらない置き方を数える（バーンサイドの補題）。
- 回転 （恒等）: 通り。
- 回転 2 種類（3 か所ずつ移る）: 色が周期 3 で並ぶ。位置 1, 2, 3 の色が互いに異なる必要があり（位置 3 と位置 4=位置 1 も隣り合う）、 通り。それぞれ 通り。
- その他の回転 6 種類（ の倍数で、位置が 1 つずつずれるものを生成する）: 全部の位置が同じ色になり、隣り合う色が同じになるので 通り。
合計して 通り。
検算: 回転で不変な置き方は周期 3 の 通り。これらは回転 で自分自身に戻り、軌道の大きさは 3 なので 個の軌道。残り 通りの軌道の大きさは 9 なので 個。合計 通り。