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場合の数と確率の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学A 場合の数と確率

$1$ から $7$ までの番号が $1$ つずつ書かれた番号札をつけた $7$ 人が、円形のテーブルのまわりに等間隔に並んだ $7$ つの席に座る。回転して一致する座り方は同じものとみなし、裏返して一致する座り方は異なるものとみなす。

番号の差が $1$ である $2$ 人（ $1$ と $2$ 、 $2$ と $3$ 、 $\dots$ 、 $6$ と $7$ ）がどこでも隣り合わないような座り方は何通りあるか。ただし、 $7$ と $1$ の差は $6$ であり、この $2$ 人は隣り合ってもよい。

この問題で使うもの

包除原理（説明と入口の問題）
順列・円順列・重複順列（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「どこかで隣り合う」場合を数えて全体から引く方針をとります。組 ${1, 2}, {2, 3}, \dots, {6, 7}$ が隣り合う座り方の集合を考え、包除原理を使いましょう。

ヒント 2

$k$ 組を隣り合わせると $7 - k$ 個のかたまりの円順列 $(6 - k)!$ 通りになります。指定した組が番号の続く $r$ 個の連に分かれるとき、各連の向きが $2$ 通りずつあるので $2^{r} (6 - k)!$ 通りです。

ヒント 3

$k$ 組・ $r$ 連となる選び方は $_{k - 1} C_{r - 1} \cdot_{7 - k} C_{r}$ 個です。全体 $720$ から、 $k = 1$ の合計 $1440$ を引き、 $k = 2$ の合計 $1200$ を足し、 $k = 3$ の合計 $528$ を引き、…と続けます。

答えと解説

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66

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解説を読む

番号 $i$ の人を単に $i$ と書く。隣り合ってはいけない $2$ 人の組は
$e_{1} = {1, 2}, e_{2} = {2, 3}, e_{3} = {3, 4}, e_{4} = {4, 5}, e_{5} = {5, 6}, e_{6} = {6, 7}$
の $6$ 組である。組 $e_{j}$ が隣り合う座り方の集合を $A_{j}$ とし、包除原理（余事象の個数を重なりに注意して数える方法）で、どの $A_{j}$ にも入らない座り方を数える。

全体. $7$ 人の円順列なので $(7 - 1)! = 720$ 通り。

$k$ 個の組を指定したとき. $6$ 組のうち $k$ 組からなる集合 $S$ を選び、 $S$ のすべての組が隣り合う座り方の数を考える。 $S$ の組は、番号が続くひとかたまりの「連」に分かれる（例えば $S = {e_{1}, e_{2}, e_{5}}$ なら $1 - 2 - 3$ と $5 - 6$ の $2$ つの連）。連が $r$ 個のとき
- 各連の人は番号順に一列に並ぶ必要があり、並び方は増加順か減少順かの $2$ 通り（ $3$ 人以上の連でもこの $2$ 通りだけ）。
- $k$ 組を指定すると $7$ 人は $7 - k$ 個のかたまりになり、その円順列は $(7 - k - 1)! = (6 - k)!$ 通り。

よって、その座り方は $2^{r} (6 - k)!$ 通りである。

$k$ 組・ $r$ 連となる $S$ の個数. 選ばない $6 - k$ 組の間と両端の $7 - k$ か所から $r$ か所を選んで連を置き（ $_{7 - k} C_{r}$ 通り）、 $k$ 組を $r$ 個の連に（順に $1$ 組以上ずつ）分ける（ $_{k - 1} C_{r - 1}$ 通り）ので、 $_{k - 1} C_{r - 1} \cdot_{7 - k} C_{r}$ 個である。

各 $k$ について $T_{k} = ∣ S ∣ = k \sum 2^{r} (6 - k)!$ を計算する。
- $k = 1$ : $r = 1$ が $_{6} C_{1} = 6$ 個。 $6 \cdot 2 = 12$ 、 $T_{1} = 12 \cdot 5! = 1440$
- $k = 2$ : $r = 1$ が $_{1} C_{0} \cdot_{5} C_{1} = 5$ 個、 $r = 2$ が $_{1} C_{1} \cdot_{5} C_{2} = 10$ 個（計 $15 =_{6} C_{2}$ ）。 $5 \cdot 2 + 10 \cdot 4 = 50$ 、 $T_{2} = 50 \cdot 4! = 1200$
- $k = 3$ : $r = 1$ が $_{2} C_{0} \cdot_{4} C_{1} = 4$ 個、 $r = 2$ が $_{2} C_{1} \cdot_{4} C_{2} = 12$ 個、 $r = 3$ が $_{2} C_{2} \cdot_{4} C_{3} = 4$ 個（計 $20 =_{6} C_{3}$ ）。 $4 \cdot 2 + 12 \cdot 4 + 4 \cdot 8 = 88$ 、 $T_{3} = 88 \cdot 3! = 528$
- $k = 4$ : $r = 1$ が $_{3} C_{0} \cdot_{3} C_{1} = 3$ 個、 $r = 2$ が $_{3} C_{1} \cdot_{3} C_{2} = 9$ 個、 $r = 3$ が $_{3} C_{2} \cdot_{3} C_{3} = 3$ 個（計 $15 =_{6} C_{4}$ ）。 $3 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 3 \cdot 8 = 66$ 、 $T_{4} = 66 \cdot 2! = 132$
- $k = 5$ : $r = 1$ が $_{4} C_{0} \cdot_{2} C_{1} = 2$ 個、 $r = 2$ が $_{4} C_{1} \cdot_{2} C_{2} = 4$ 個（計 $6 =_{6} C_{5}$ ）。 $2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 20$ 、 $T_{5} = 20 \cdot 1! = 20$
- $k = 6$ : $r = 1$ が $1$ 個。 $T_{6} = 2 \cdot 0! = 2$

包除原理. 求める数は
$720 - T_{1} + T_{2} - T_{3} + T_{4} - T_{5} + T_{6} = 720 - 1440 + 1200 - 528 + 132 - 20 + 2 = 66$
である。

よって、答えは $66$ 通りである。

別解

回転して一致するものを同じとみなすので、制限なしの座り方は $(7 - 1)! = 720$ 通り。裏返しは区別する。

番号の差が $1$ の組 ${i, i + 1}$ ( $i = 1, \dots, 6$ ) の $6$ 本の「辺」のうち、指定した $k$ 本の組がすべて隣り合う座り方の数を、包除原理で数える。

選んだ $k$ 本が、番号の連なりとして $c$ 個のかたまり（連続する辺の列）をなすとき、各かたまりは 1 つのブロックとして扱え、ブロックは $7 - k$ 個になる。円順列は $(7 - k - 1)! = (6 - k)!$ 通りで、各かたまりは両向き（例えば $1, 2, 3$ と $3, 2, 1$ ）があり得るので $2^{c}$ 倍。したがって $(6 - k)! \cdot 2^{c}$ 通り。（ $k = 6$ のとき $7$ 人全体が 1 つのブロックで $0! \cdot 2 = 2$ 通りで、この式のままでよい。）

$6$ 本の辺から $k$ 本をとり $c$ 個のかたまりになる選び方は $_{k - 1} C_{c - 1} \cdot_{7 - k} C_{c}$ 通り。よって $T_{k} = \sum_{S, ∣ S ∣ = k} 2^{c (S)}$ は

$k = 0$ : $T_{0} = 1$
$k = 1$ : $c = 1$ : $6$ 通り $\to 2 \cdot 6 = 12$
$k = 2$ : $c = 1$ : $5$ 通り, $c = 2$ : $10$ 通り $\to 10 + 40 = 50$
$k = 3$ : $c = 1$ : $4$ , $c = 2$ : $12$ , $c = 3$ : $4$ $\to 8 + 48 + 32 = 88$
$k = 4$ : $c = 1$ : $3$ , $c = 2$ : $9$ , $c = 3$ : $3$ $\to 6 + 36 + 24 = 66$
$k = 5$ : $c = 1$ : $2$ , $c = 2$ : $4$ $\to 4 + 16 = 20$
$k = 6$ : $c = 1$ : $1$ $\to 2$

求める数は
$k = 0 \sum 6 (- 1)^{k} (6 - k)! T_{k} = 720 - 120 \cdot 12 + 24 \cdot 50 - 6 \cdot 88 + 2 \cdot 66 - 1 \cdot 20 + 1 \cdot 2$
$= 720 - 1440 + 1200 - 528 + 132 - 20 + 2 = 66.$

検算: 同じ方法で $4$ 人（差が $1$ の組が隣り合わない）の場合を計算すると $6 - 12 + 8 - 2 = 0$ で、実際 $4$ 人では ${1, 3}, {1, 4}, {2, 4}$ しか隣り合えず輪が作れないので $0$ 通りとなり、手法は妥当。また $7$ 人の場合、向きを区別しない輪は $33$ 通りで、裏返しを区別すると $2$ 倍の $66$ 通りで、偶数であることとも整合する。

答え: $66$ 通り

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