包除原理

$1$ から $150$ までの整数のうち、$3$, $5$, $7$ の少なくとも $1$ つで割り切れるものは何個あるか。

$1$ から $210$ までの整数のうち、$3$ でも $5$ でも $7$ でも割り切れないものは何個あるか。

$1$ から $150$ までの整数のうち、$3$、$5$、$7$ の少なくとも $1$ つで割り切れる整数は何個あるか。

円を中心角が等しい 6 つの扇形に分け、赤・青・黄・緑・白・黒の 6 色をすべて 1 回ずつ使って、各扇形を 1 色で塗る。回転して一致する塗り方は同じものとみなす。赤と青の扇形が隣り合わず、かつ黄と緑の扇形も隣り合わない塗り方は何通りあるか。

箱の中に、$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、カードを箱に戻す。この操作を 3 回繰り返すとき、記録された 3 つの数字の中に $1$ と $5$ がどちらも少なくとも 1 回ずつ含まれる確率を求めよ。

袋の中に、$1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $10$ 枚のカードが入っている。この袋からカードを $1$ 枚取り出し、書かれた数を記録してから袋に戻す。この操作を $3$ 回くり返す。記録された $3$ つの数の最大値が $9$ 以上であり、かつ最小値が $2$ 以下である確率を求めよ。

1 以上 2000 以下の整数のうち、3 でも 5 でも 7 でも割り切れないものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $6$ の巡回群であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ を位数 $2^{12}$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_2$ はその素体として含まれる）。元 $\beta \in {\mathbb{F}}_{2^{12}}$ のうち、$\beta$ を ${\mathbb{F}}_2$ に添加した体 ${\mathbb{F}}_2(\beta )$ が ${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ 全体と一致するものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3[x]$ のモニックな $6$ 次既約多項式のうち、定数項が $1$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ の $6$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$ とする。また、$6$ 次のモニックな既約多項式 $f(x)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ のうち、$f$ の根（${\mathbb{F}}_2$ の代数閉包の中でとる）の乗法群における位数が $2^6-1=63$ であるもの（原始多項式）の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$1$ から $9$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードがある。これらをよくまぜて、縦 $3$ 行・横 $3$ 列に並んだ $9$ つのマスに $1$ 枚ずつ無作為に置く。

$3$ つの行のうち、置かれた $3$ 枚のカードに書かれた数の和が $15$ である行が少なくとも $1$ つある確率を求めよ。

$2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ とする。$\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ に対し、$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ をみたす最小の正の整数 $k$ を、法 $2024$ における $a$ の位数という。

$\gcd (a,2024)=1$ をみたすすべての整数 $a$ について $a^L\equiv 1(\mathrm{mod}2024)$ が成り立つような最小の正の整数を $L$ とする。また、$1\leqq a\leqq 2023$ かつ $\gcd (a,2024)=1$ をみたす整数 $a$ のうち、法 $2024$ における位数がちょうど $L$ であるものの個数を $N$ とする。

組 $(L,N)$ を求めよ。

1 個のさいころを 5 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

横一列に並んだ $6$ 枚の板を、左から順に $1$ 枚ずつ、赤・青・黄・緑の $4$ 色のうちいずれか $1$ 色で塗る。ただし、次の $2$ つの条件をともに満たすように塗る。

(条件1) 隣り合う $2$ 枚の板は異なる色で塗る。

(条件2) $4$ 色すべてを少なくとも $1$ 回は使う。

板はすべて区別し、塗り方は各板の色の組で区別する。このような塗り方は全部で何通りあるか。

1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ が $12$ の倍数になる確率を求めよ。

$1,1,2,2,3,3,4,4$ の数字が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがある。これらをよくまぜて、無作為に横 1 列に並べる。同じ数字が書かれたカードどうしがどこでも隣り合わない確率を求めよ。

区別のつかない $12$ 個の玉を、区別のつく $4$ つの箱 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ にすべて入れる。空の箱があってもよいが、どの箱にも玉は $5$ 個以下しか入れられない。このとき、箱 $\mathrm{A}$ に入る玉の個数が箱 $\mathrm{B}$ に入る玉の個数より多くなるような入れ方は何通りあるか。

1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

$1001=7\cdot 11\cdot 13$ とする。$1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $a$ で $\gcd (a,1001)=1$ を満たすもののうち、$1001$ を法とする位数がちょうど $12$ であるもの（すなわち $a^{12}\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$ かつ $1\le k<12$ なる整数 $k$ に対して $a^k\not\equiv 1(\mathrm{mod}1001)$）の個数を求めよ。

1 個のさいころを $6$ 回続けて投げる。$6$ 回のうちから異なる $2$ 回を選び、その $2$ 回に出た目の和を $7$ にすることができる確率を求めよ。

円周上に等間隔に $8$ つの位置があり、それぞれの位置に赤・青・黄のいずれかの色の玉を $1$ 個ずつ置く。各色の玉は十分な個数があり、同じ色の玉どうしは区別しない。次の $2$ つの条件をともに満たす置き方は何通りあるか。ただし、回転して一致する置き方は同じものとみなし、裏返して一致するだけのものは異なるものとみなす。

$(1)$ 隣り合う $2$ つの位置には、異なる色の玉を置く。

$(2)$ 赤・青・黄の $3$ 色すべてを少なくとも $1$ 回ずつ使う。

円周上に等間隔に $8$ 個の点があり、時計回りに順に ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_8$ と名前が付いている。赤玉 $2$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $2$ 個、黄玉 $2$ 個の合計 $8$ 個の玉を、各点に $1$ 個ずつ置く。ただし、同じ色の玉は互いに区別しない。円周上で隣り合う $2$ 点（${\mathrm{P}}_i$ と ${\mathrm{P}}_{i+1}$ $(i=1,2,\dots ,7)$、および ${\mathrm{P}}_8$ と ${\mathrm{P}}_1$）に同じ色の玉が置かれないような置き方は何通りあるか。

1 個のさいころを $5$ 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ が $72$ の倍数となる確率を求めよ。

$1$ から $7$ までの番号が $1$ つずつ書かれた番号札をつけた $7$ 人が、円形のテーブルのまわりに等間隔に並んだ $7$ つの席に座る。回転して一致する座り方は同じものとみなし、裏返して一致する座り方は異なるものとみなす。

番号の差が $1$ である $2$ 人（$1$ と $2$、$2$ と $3$、$\dots$、$6$ と $7$）がどこでも隣り合わないような座り方は何通りあるか。ただし、$7$ と $1$ の差は $6$ であり、この $2$ 人は隣り合ってもよい。