体論・ガロア理論の問題

${\mathbb{F}}_{64}$ を位数 $64$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{64}$ の部分体は ${\mathbb{F}}_{2^d}$（$d\mid 6$、すなわち ${\mathbb{F}}_2,{\mathbb{F}}_4,{\mathbb{F}}_8,{\mathbb{F}}_{64}$）である。

$A$ の計算. $6$ 次の既約多項式の根は ${\mathbb{F}}_{64}$ に含まれ、${\mathbb{F}}_2$ 上の次数がちょうど $6$ の元、つまり真の部分体に含まれない元である。${\mathbb{F}}_{64}$ の極大な真部分体は ${\mathbb{F}}_8$ と ${\mathbb{F}}_4$ で、その共通部分は ${\mathbb{F}}_2$ だから、包除原理より次数 $6$ の元の個数は
$$64-8-4+2=54$$
である。$6$ 次の既約多項式は（有限体上なので分離的で）相異なる $6$ 個の根をもち、異なる既約多項式は共通根をもたないので
$$A=\frac{54}{6}=9$$
である。

$B$ の計算. 乗法群 ${\mathbb{F}}_{64}^{\times }$ は位数 $63$ の巡回群なので、位数 $63$ の元（原始元）はちょうど $\phi (63)$ 個ある。$63=9\cdot 7$ より
$$\phi (63)=\phi (9)\phi (7)=6\cdot 6=36.$$
原始元 $\gamma$ は ${\gamma }^{2^d-1}\ne 1$（$d=1,2,3$）なので真の部分体に含まれず、${\mathbb{F}}_2$ 上の次数は $6$ である。また $\gamma$ の共役 ${\gamma }^{2^j}$ も、$\gcd (2^j,63)=1$ より位数 $63$ である。したがって原始元 $36$ 個は $6$ 個ずつ共役類に分かれ、それぞれが $1$ つの原始多項式の根全体になる。よって
$$B=\frac{36}{6}=6$$
である。

（検算: 次数 $6$ の元 $54$ 個の位数は $9,21,63$ のいずれかで、その個数は $\phi (9)+\phi (21)+\phi (63)=6+12+36=54$。原始的でない $6$ 次既約多項式は $18/6=3$ 個で、$A-B=3$ と一致する。）

以上より $(A,B)=(9,6)$ である。

${\mathbb{F}}_2$ 上の $n$ 次モニック既約多項式の個数は $\frac{1}{n}{\sum }_{d|n}\mu (d)2^{n/d}$。$n=6$ では $\frac{1}{6}(2^6-2^3-2^2+2^1)=\frac{64-8-4+2}{6}=\frac{54}{6}=9$。よって $A=9$。\n\n（別の確認: ${\mathbb{F}}_{64}$ の元 $64$ 個のうち、部分体 ${\mathbb{F}}_8$（8 元）と ${\mathbb{F}}_4$（4 元）の和集合は $8+4-2=10$ 元なので、6 次の元は $64-10=54$ 個。各既約多項式は 6 個の根をもつので $54/6=9$。）\n\n原始多項式は、根が ${\mathbb{F}}_{64}^{\times }$（位数 63 の巡回群）の生成元であるもの。生成元の個数は $\phi (63)=\phi (9)\phi (7)=6\cdot 6=36$。生成元は 6 次の元なので各既約多項式（根 6 個、すべて共役で同じ位数をもつ）に 6 個ずつ属する。よって $B=36/6=6$。\n\n$(A,B)=(9,6)$。