体論・ガロア理論

$L$ を多項式 $x^4-7$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は位数 $8$ の二面体群
$$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
に同型であることが知られている（このことは証明せずに用いてよい）。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に含める。

$L$ を多項式 $x^3-7$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=3$ となるものの個数を求めよ。

$\alpha \in \mathbb{C}$ を多項式 $x^3-x-1$ の根の $1$ つとし、$\beta ={\alpha }^2$ とおく。$\beta$ の $\mathbb{Q}$ 上のモニックな最小多項式を、変数 $x$ の多項式として求めよ。ただし $x^3-x-1$ が $\mathbb{Q}$ 上既約であることは用いてよい。

$\zeta =e^{2\pi i/5}\in \mathbb{C}$ とし、$\sqrt[5]{4}$ は $4$ の正の実数の $5$ 乗根を表すとする。拡大次数
$$[\mathbb{Q}(\zeta ,\sqrt[5]{4}):\mathbb{Q}]$$
を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ のモニックな $4$ 次既約多項式 $f(x)$ で、$f$ の根の $1$ つ $\alpha \in {\mathbb{F}}_{16}$ が乗法群 ${\mathbb{F}}_{16}^{\times }$ の生成元になるもの（原始多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_5$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_5(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=x^{10}+t{x}^5+t\in K[x]$$
は $K$ 上既約である（$t$ に関するアイゼンシュタインの判定法による）。$K$ の代数閉包 $\overline{K}$ の中で $f$ の根 $\alpha$ を 1 つとり、$L=K(\alpha )$ とおく。分離次数 $[L:K{]}_s$ と非分離次数 $[L:K{]}_i$ を、組 $\left([L:K{]}_s,[L:K{]}_i\right)$ の形でこの順に求めよ。ただし $[L:K]=[L:K{]}_s[L:K{]}_i$ であり、$[L:K{]}_s$ は $L$ から $\overline{K}$ への $K$ 上の埋め込みの個数とする。

有理数係数の多項式
$$f(x)=x^3-7x+7$$
を考える。$f$ の $\mathbb{C}$ における最小分解体を $L$ とするとき、拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/21}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす部分体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=2$ となるものの個数を求めよ。

$\mathbb{C}$ の部分体
$$L=\mathbb{Q}\left(\sqrt{12},\sqrt{18},\sqrt{24},\sqrt{-2}\right)$$
を考える。ここで $\sqrt{12},\sqrt{18},\sqrt{24}$ は正の平方根、$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$ とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$L$ を多項式 $x^6+3\in \mathbb{Q}[x]$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$L$ を多項式 $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=4$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元として、有理関数体 $K={\mathbb{F}}_3(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=x^6-t\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$（$K$ の代数閉包の中にとる）とする。拡大次数 $[L:K]$ と、$L/K$ の分離次数 $[L:K{]}_s$（$L$ に含まれる $K$ 上分離的な元全体のなす中間体 $L_s$ に対する $[L_s:K]$）を、この順に組 $([L:K],[L:K{]}_s)$ で求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。多項式
$$x^{729}-x\in {\mathbb{F}}_3[x]$$
を ${\mathbb{F}}_3[x]$ でモニックな既約多項式の積に分解したとき、現れる相異なるモニック既約多項式の個数を求めよ。

$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\in \mathbb{R}$ とする（$\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ は正の実数の根を表す）。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（最高次係数が $1$ の多項式）を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

$\omega =e^{2\pi i/3}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\omega )$ とおく。さらに $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{5}$ をそれぞれ $2$, $5$ の正の実数の $3$ 乗根として、$$L=K\left(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5}\right)\subseteq \mathbb{C}$$ とする。$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ の個数を求めよ（$M=K$ および $M=L$ も数に含める）。

$\zeta =e^{2\pi i/16}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ および $K=L$ も数に含める）。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ を位数 $2^{12}$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_2$ はその素体として含まれる）。元 $\beta \in {\mathbb{F}}_{2^{12}}$ のうち、$\beta$ を ${\mathbb{F}}_2$ に添加した体 ${\mathbb{F}}_2(\beta )$ が ${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ 全体と一致するものの個数を求めよ。

$$f(x)=x^4-2x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$$ とし、$L$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{2}$ を $2$ の正の実数の $3$ 乗根とし、
$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\in \mathbb{R}$$
とおく（$\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2}{)}^2$ である）。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上のモニックな最小多項式を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{49}$ を位数 $49$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_7$ はその素体として含まれる）。

${\mathbb{F}}_7[x]$ の $4$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$、${\mathbb{F}}_{49}[x]$ の $2$ 次のモニックな既約多項式の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$p$ を素数、$n$ を正の整数とし、$q=p^n$ とする。${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ をその素体とする。

$p$ が $n$ を割り切らないとき、${\mathbb{F}}_p$ の $0$ でない任意の元 $a$ について、多項式 $x^p-x-a$ は ${\mathbb{F}}_q$ に根をもたないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: ${\mathbb{F}}_q$ は素体 ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を部分体として含む。すべての $b\in {\mathbb{F}}_q$ について $b^q=b$ である。すべての $c\in {\mathbb{F}}_p$ について $c^p=c$ である。${\mathbb{F}}_q$ の元 $x,y$ について $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ である。

$\sqrt{3}$ を $3$ の正の平方根、$\sqrt[3]{2}$ を $2$ の正の実数の $3$ 乗根とし、
$$\alpha =\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\in \mathbb{R}$$
とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）を $x$ の多項式として求めよ。

$L$ を多項式 $$f(x)=(x^3-2)(x^2-5)\in \mathbb{Q}[x]$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$ とし、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数える）。組 $(N,M)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3[x]$ のモニックな $6$ 次既約多項式のうち、定数項が $1$ であるものの個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/60}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$d$ は $1$ でない平方因子をもたない整数とする。すなわち、$d\ne 1$ であり、どの素数 $p$ についても $p^2\nmid d$ である（$d$ は負でもよい）。$d<0$ のときは $\sqrt{d}=i\sqrt{-d}$ と定める。$\sqrt{d}\in L$ となるような $d$ をすべて求め、その集合を答えよ。

$L$ を多項式 $(x^3-3)(x^2-2)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に含める。

$\zeta =e^{2\pi i/35}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）。

$\alpha \in \mathbb{C}$ を多項式 $x^3-3x+1$ の根の 1 つとし、$$\beta ={\alpha }^2-2$$ とおく。$\beta$ の $\mathbb{Q}$ 上のモニックな最小多項式を、不定元 $x$ の多項式として求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ の $6$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$ とする。また、$6$ 次のモニックな既約多項式 $f(x)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ のうち、$f$ の根（${\mathbb{F}}_2$ の代数閉包の中でとる）の乗法群における位数が $2^6-1=63$ であるもの（原始多項式）の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とし、$\sqrt{5}$ は $5$ の正の平方根を表すとする。$$\alpha =\zeta +\sqrt{5}\in \mathbb{C}$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

${\mathbb{F}}_4$ を位数 $4$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_2\subseteq {\mathbb{F}}_4$ をその素体とする。${\mathbb{F}}_4[x]$ のモニックな $3$ 次既約多項式のうち、係数がすべて ${\mathbb{F}}_2$ に属するわけではないもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2[x]$ に属さないもの）の個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/9}\in \mathbb{C}$ とし、$\sqrt[3]{2}$ は $2$ の正の実数の $3$ 乗根を表すとする。$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\zeta$$ とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式の次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$L$ を多項式 $x^8-3\in \mathbb{Q}[x]$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$p$ を素数とし、$L/K$ を拡大次数 $[L:K]=p^2$ の有限次ガロア拡大とする。$K⊊M⊊L$ をみたす中間体 $M$ の個数を $N$ とする。

このとき、$N=1$ または $N=p+1$ であることを証明せよ。

ただし、ガロア理論の基本定理と、位数 $p^2$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ のいずれかに同型であることは用いてよい。

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元とし、$K={\mathbb{F}}_3(t)$ とおく。多項式
$$f(x)=x^9-x^3-t\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中でとる）。$L$ における $K$ の分離閉包（$L$ の元のうち $K$ 上分離的なもの全体のなす体）を $K_s$ とし、$[L:K{]}_s=[K_s:K]$ を分離次数とする。また、$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ の個数を $N$ とする（$M=K$, $M=L$ も数える）。

$$\left([L:K],[L:K{]}_s,N\right)$$
をこの順に組で求めよ。

$L$ を多項式 $x^5-6$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$K/\mathbb{Q}$ がガロア拡大でないものの個数を求めよ。

$L$ を多項式 $x^6-2$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に入れる）。組 $(N,M)$ を求めよ。

$\sqrt[5]{3}$ は $3$ の正の実数の $5$ 乗根を表し、$L$ を多項式 $x^5-3$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たすすべての中間体 $K$（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）について拡大次数 $[K:\mathbb{Q}]$ を求め、それらの総和 $$S=\sum _{\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L}[K:\mathbb{Q}]$$ を求めよ。

$K$ を体（標数は任意）、$p$ を素数とし、$a\in K$ は $K$ のどの元の $p$ 乗にもならない（すなわち $c^p=a$ となる $c\in K$ が存在しない）とする。$L$ を $K$ の有限次拡大体で、拡大次数 $[L:K]$ が $p$ で割り切れないものとする。$L$ の代数閉包 $\Omega$ をとり、$\alpha \in \Omega$ を ${\alpha }^p=a$ をみたす元とする。

このとき、$[L(\alpha ):L]=p$ であること、すなわち多項式 $x^p-a$ が $L[x]$ で既約であることを証明せよ。

ただし、拡大次数の連鎖律（$[M:F]=[M:E][E:F]$）、代数的な元 $\beta$ について $[F(\beta ):F]$ が $\beta$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しいこと、代数閉体上の多項式環における一意分解は用いてよい。

$p$ を奇素数とし、$\zeta =e^{2\pi i/p}\in \mathbb{C}$、$K=\mathbb{Q}(\zeta )$ とする。$\alpha =\sqrt[p]{2}$、$\beta =\sqrt[p]{3}$ をそれぞれ $2,3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、$\mathbb{C}$ の部分体として $K(\alpha )\ne K(\beta )$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K:\mathbb{Q}]=p-1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L/F$ において $\mathrm{Gal}(L/F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_2(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=(x^4+x^2+t)(x^3+t)\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中で考える）。拡大次数 $[L:K]$ と、$L$ の $K$ 上の自己同型群 $\mathrm{Aut}(L/K)$ の位数を、この順に組で求めよ。