体論・ガロア理論の問題

ガロア群を決める. $\sqrt[3]{7}$ を $7$ の正の実数の $3$ 乗根、$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とすると、$x^3-7$ の根は $\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{7}\omega ,\sqrt[3]{7}{\omega }^2$ であり、$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7},\omega )$ である。$x^3-7$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 $7$）により既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}):\mathbb{Q}]=3$。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})\subset \mathbb{R}$ で $\omega \notin \mathbb{R}$、$\omega$ は $x^2+x+1$ の根なので $[L:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})]=2$。よって
$$[L:\mathbb{Q}]=3\cdot 2=6.$$
$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の元は $3$ つの根の置換を引き起こし、元はその置換で決まるので、$G$ は $S_3$ の部分群とみなせる。$|G|=6=|S_3|$ より $G\cong S_3$ である。

ガロアの基本定理で言い換える. $L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、中間体 $K$ と部分群 $H=\mathrm{Gal}(L/K)$ は $1$ 対 $1$ に対応し、
$$[K:\mathbb{Q}]=[G:H]=\frac{6}{|H|}$$
が成り立つ。$[K:\mathbb{Q}]=3$ となるのは $|H|=2$ のときである。

位数 $2$ の部分群を数える. 位数 $2$ の部分群は位数 $2$ の元 $1$ つで生成される。$S_3$ の位数 $2$ の元は互換 $(12),(13),(23)$ の $3$ 個なので、位数 $2$ の部分群は $3$ 個ある。

したがって $[K:\mathbb{Q}]=3$ となる中間体は $3$ 個である（具体的には $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}),\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}\omega ),\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}{\omega }^2)$）。

$x^3-7$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（アイゼンシュタイン判定法で $p=7$、または有理根をもたない）。根は $\alpha ,\alpha \omega ,\alpha {\omega }^2$（$\alpha =\sqrt[3]{7}$、$\omega =e^{2\pi i/3}$）で、$L=\mathbb{Q}(\alpha ,\omega )$。$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$、$\omega \notin \mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ なので $[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=2$ より $[L:\mathbb{Q}]=6$。ガロア群 $G$ は 3 根の置換として $S_3$ に同型（位数 6 で 3 次の既約多項式の群なので）。

ガロア理論の基本定理より、$[K:\mathbb{Q}]=3$ となる $K$ は指数 $[G:H]=3$、すなわち位数 $|H|=2$ の部分群 $H$ に対応する。$S_3$ の位数 2 の部分群は 3 個の互換が生成するもの 3 個。対応する中間体は $\mathbb{Q}(\alpha ),\mathbb{Q}(\alpha \omega ),\mathbb{Q}(\alpha {\omega }^2)$ で、互いに相異なる（実数体に入るのは $\mathbb{Q}(\alpha )$ だけなので異なる）。

検算: 位数 2 の元は 3 個（互換）で、それぞれが位数 2 の部分群を 1 個ずつ生成するので 3 個。上の 3 つの 3 次体と一致する。