拡大次数と次数の積の公式

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[4]{7}$ を $7$ の正の実数の $4$ 乗根とする。有理数体 $\mathbb{Q}$ にこの $2$ つの実数を添加した体 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{7})$ について、拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[4]{2}$ を $2$ の正の実数の $4$ 乗根とし、実数体の部分体 $$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{2})$$ を考える。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[5]{2}$ を $2$ の実数の $5$ 乗根とする。体 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[5]{2})$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$i$ を虚数単位とし、複素数 $\alpha =\sqrt{3}+i$ を考える。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $p(x)$ を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^2-2)(x^2+3)(x^2-6)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元として、有理関数体 $K={\mathbb{F}}_3(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=x^6-t\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$（$K$ の代数閉包の中にとる）とする。拡大次数 $[L:K]$ と、$L/K$ の分離次数 $[L:K{]}_s$（$L$ に含まれる $K$ 上分離的な元全体のなす中間体 $L_s$ に対する $[L_s:K]$）を、この順に組 $([L:K],[L:K{]}_s)$ で求めよ。

$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\in \mathbb{R}$ とする（$\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ は正の実数の根を表す）。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（最高次係数が $1$ の多項式）を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

$$f(x)=x^4-2x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$$ とし、$L$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{2}$ を $2$ の正の実数の $3$ 乗根とし、
$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\in \mathbb{R}$$
とおく（$\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2}{)}^2$ である）。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上のモニックな最小多項式を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^2+3)(x^2-2)$$
を考える。$f(x)$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$（$\mathbb{C}$ の部分体とする）とするとき、ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$\sqrt{3}$ を $3$ の正の平方根、$\sqrt[3]{2}$ を $2$ の正の実数の $3$ 乗根とし、
$$\alpha =\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\in \mathbb{R}$$
とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）を $x$ の多項式として求めよ。

有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^4-3)$$
の $\mathbb{C}$ 内での最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とし、$\sqrt{5}$ は $5$ の正の平方根を表すとする。$$\alpha =\zeta +\sqrt{5}\in \mathbb{C}$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（モニック）を、変数 $x$ の多項式として求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/9}\in \mathbb{C}$ とし、$\sqrt[3]{2}$ は $2$ の正の実数の $3$ 乗根を表すとする。$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\zeta$$ とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式の次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$L$ を多項式 $x^8-3\in \mathbb{Q}[x]$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$（$\sqrt[3]{3}$ は $3$ の実数の $3$ 乗根）とする。拡大次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を $d$ とし、$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（最高次の係数が $1$ のもの）を $p(x)$ とする。組 $(d,p(1))$ をこの順に求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^6+3)(x^2+1)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。素イデアルは環全体と異なるものとし、零イデアルが素イデアルであればそれも数える（すなわち、素スペクトル $\mathrm{Spec}$ の元の個数を数える）。
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2-2,y^3-2)$$
とおく。
$$S=\{n\in \mathbb{Z}:\gcd (n,2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 31)=1\}$$
とおく。$S$ は $2,3,5,7,31$ のどれでも割り切れない整数全体であり、$\pm 1$ を含み、$0$ は含まない。$S$ は $\mathbb{Z}$ の積閉集合である。標準準同型 $\mathbb{Z}\to A$ による $S$ の像を $A$ の積閉集合とみなし、局所化 $R=S^{-1}A$ を考える。$R$ の素イデアルの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元とし、$K={\mathbb{F}}_3(t)$ とおく。多項式
$$f(x)=x^9-x^3-t\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中でとる）。$L$ における $K$ の分離閉包（$L$ の元のうち $K$ 上分離的なもの全体のなす体）を $K_s$ とし、$[L:K{]}_s=[K_s:K]$ を分離次数とする。また、$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ の個数を $N$ とする（$M=K$, $M=L$ も数える）。

$$\left([L:K],[L:K{]}_s,N\right)$$
をこの順に組で求めよ。

実数 $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ を考える（$\sqrt[3]{3}$ は $3$ の実数の $3$ 乗根）。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式を $p(x)$ とし、拡大次数を $n=[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ とする。組 $(n,p(1))$ をこの順に求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-2)(x^4-3)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

有理数係数の多項式 $f(x)=(x^4-3)(x^3-2)$ の、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$L$ を多項式 $x^6-2$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に入れる）。組 $(N,M)$ を求めよ。

$\sqrt[5]{3}$ は $3$ の正の実数の $5$ 乗根を表し、$L$ を多項式 $x^5-3$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たすすべての中間体 $K$（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）について拡大次数 $[K:\mathbb{Q}]$ を求め、それらの総和 $$S=\sum _{\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L}[K:\mathbb{Q}]$$ を求めよ。

$K$ を体、$L$ を $K$ の有限次拡大体とし、$m=[L:K]$ とおく。$f(x)\in K[x]$ を $K$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$e=\gcd (m,n)$ とおく。$f(x)$ を $L[x]$ の多項式とみて
$$f(x)=c{p}_1(x)p_2(x)\cdots p_r(x)(c\in L,c\ne 0)$$
と、$L$ 上既約なモニック多項式 $p_1(x),\dots ,p_r(x)\in L[x]$（同じものがあってもよい）の積に分解する。このとき、因子の個数 $r$ は $r\le e$ を満たすことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $L[x]$ の次数 $1$ 以上の多項式は、上のように $L$ 上既約なモニック多項式の積に分解できる
- 拡大次数の連鎖律: 体の拡大 $F\subset E\subset M$ について $[M:F]=[M:E][E:F]$（右辺の 2 つが有限ならば左辺も有限であり、左辺が有限ならば右辺の 2 つも有限である）
- 体 $F$ 上の多項式 $g(x)$（次数 $1$ 以上）に対して、$g(x)$ が根をもつような $F$ の拡大体が存在する
- $\alpha$ が体 $F$ 上代数的ならば、$[F(\alpha ):F]$ は $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しく、$\alpha$ を根にもつ $F[x]$ の多項式はすべて最小多項式で割り切れる

$p$ を奇素数とし、$\zeta =e^{2\pi i/p}\in \mathbb{C}$、$K=\mathbb{Q}(\zeta )$ とする。$\alpha =\sqrt[p]{2}$、$\beta =\sqrt[p]{3}$ をそれぞれ $2,3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、$\mathbb{C}$ の部分体として $K(\alpha )\ne K(\beta )$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K:\mathbb{Q}]=p-1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L/F$ において $\mathrm{Gal}(L/F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_2(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=(x^4+x^2+t)(x^3+t)\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中で考える）。拡大次数 $[L:K]$ と、$L$ の $K$ 上の自己同型群 $\mathrm{Aut}(L/K)$ の位数を、この順に組で求めよ。