代数学の問題

手順 1：それぞれの元の次数を求める。

$\sqrt[3]{5}$ は $x^3-5$ の根である。素数 $5$ について、$x^3$ 以外の係数 $0,0,-5$ はすべて $5$ で割り切れ、最高次の係数 $1$ は $5$ で割り切れず、定数項 $-5$ は $5^2=25$ で割り切れない。よってアイゼンシュタインの判定法により $x^3-5$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、これが $\sqrt[3]{5}$ の最小多項式になる。したがって
$$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}]=3.$$

同様に、$\sqrt[4]{7}$ は $x^4-7$ の根であり、素数 $7$ でアイゼンシュタインの判定法を適用すると $x^4-7$ は既約である。したがって
$$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7}):\mathbb{Q}]=4.$$

手順 2：次数の積の公式で $[L:\mathbb{Q}]$ の約数を調べる。

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\subset L$ に次数の積の公式を使うと
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})]\cdot 3$$
となる。よって $[L:\mathbb{Q}]$ は $3$ の倍数である。

同様に $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{7})\subset L$ を考えると
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7})]\cdot 4$$
となる。よって $[L:\mathbb{Q}]$ は $4$ の倍数でもある。

$3$ と $4$ は互いに素なので、$[L:\mathbb{Q}]$ は $12$ の倍数である。

手順 3：上からおさえる。

$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})(\sqrt[4]{7})$ であり、$\sqrt[4]{7}$ は係数が $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ に入る $4$ 次式 $x^4-7$ の根である。$\sqrt[4]{7}$ の $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ 上の最小多項式は $x^4-7$ を割り切るので、その次数は $4$ 以下である。よって
$$[L:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})]\le 4$$
となり、
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})]\cdot 3\le 4\cdot 3=12$$
が成り立つ。

結論

$[L:\mathbb{Q}]$ は $12$ の倍数であり、かつ $12$ 以下である。したがって
$$[L:\mathbb{Q}]=12.$$

$\alpha =\sqrt[3]{5}$、$\beta =\sqrt[4]{7}$ とおく。

$x^3-5$ は $5$ に対するアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$。
$x^4-7$ は $7$ に対するアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=4$。

$L$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ と $\mathbb{Q}(\beta )$ の両方を含むので、$[L:\mathbb{Q}]$ は $3$ でも $4$ でも割り切れる。よって $[L:\mathbb{Q}]$ は $12$ の倍数である。

一方、$L=\mathbb{Q}(\alpha )(\beta )$ で、$\beta$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ 上で $x^4-7$ の根だから $[L:\mathbb{Q}(\alpha )]\le 4$。したがって $[L:\mathbb{Q}]\le 3\cdot 4=12$。

以上より $[L:\mathbb{Q}]=12$。

検算：$\gcd (3,4)=1$ であり、塔の法則による上からの評価 $12$ と下からの評価 $12$ が一致している。