代数学

加法群 $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ において、元 $\overline{27}$（$27$ を代表とする剰余類）の位数を求めよ。

加法群 $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ を考える。その元 $\overline{k}$（$k=0,1,2,\dots ,35$）のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

加法群 $\mathbb{Z}/40\mathbb{Z}$ を考える。その元を $k=0,1,2,\dots ,39$ の剰余類で表す。$\mathbb{Z}/40\mathbb{Z}$ の元のうち、位数がちょうど $8$ であるものの個数を求めよ。

実数 $$\alpha =\sqrt{1+\sqrt{3}}$$ を考える（根号は正の平方根を表す）。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（$\alpha$ を根にもつ有理数係数のモニック多項式のうち次数が最小のもの）を $p(x)$ とする。$p(x)$ を求めよ。

$\sqrt[3]{2}$ を $2$ の実数の $3$ 乗根とし、実数 $$\alpha =1+\sqrt[3]{2}$$ を考える。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $p(x)$ を求めよ。ただし、最小多項式とは、$\alpha$ を根にもつ有理数係数の多項式のうち次数が最小で、最高次の係数が $1$ であるものとする。

実数 $\alpha =1+\sqrt[3]{2}$ を考える（$\sqrt[3]{2}$ は $2$ の実数の $3$ 乗根）。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $p(x)$（$\alpha$ を根にもつ $\mathbb{Q}$ 係数のモニック多項式のうち次数が最小のもの）を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

$9$ 次対称群 $S_9$ の元 $\sigma$ を
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 4& 7& 9& 6& 3& 1& 2& 5& 8\end{array}\right)$$
で定める（上の段の数 $i$ の真下にある数が $\sigma (i)$ である）。$\sigma$ の位数、すなわち ${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$ を求めよ。

$8$ 次対称群 $S_8$ の元
$$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 3& 5& 6& 7& 8& 1& 2& 4\end{array}\right)$$
を考える。$\sigma$ の位数（${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$）を求めよ。

$9$ 次対称群 $S_9$ の元
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 5& 6& 1& 7& 9& 8& 4& 2& 3\end{array}\right)$$
を考える（上の段の数字が、そのすぐ下の段の数字に移る）。$\sigma$ の位数、すなわち ${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$ を求めよ。

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[4]{7}$ を $7$ の正の実数の $4$ 乗根とする。有理数体 $\mathbb{Q}$ にこの $2$ つの実数を添加した体 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{7})$ について、拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[4]{2}$ を $2$ の正の実数の $4$ 乗根とし、実数体の部分体 $$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{2})$$ を考える。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$\sqrt[3]{5}$ を $5$ の実数の $3$ 乗根、$\sqrt[5]{2}$ を $2$ の実数の $5$ 乗根とする。体 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\sqrt[5]{2})$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$35$ と互いに素な剰余類全体は、乗法について群 $G=(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}{)}^{\times }$ をなす。$G$ の元の位数の最大値を求めよ。

$21$ と互いに素な剰余類全体は、乗法について群 $G=(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}{)}^{\times }$ をなす。$G$ の元の位数の最大値を求めよ。

$45$ と互いに素な剰余類全体が乗法についてなす群を $G=(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}{)}^{\times }$ とする。$G$ の元の位数の最大値を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$ において、置換
$$\sigma =(135)(26)$$
を考える。$S_6$ の元のうち $\sigma$ と共役であるもの（$\sigma$ 自身も含む）の個数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$ の置換 $$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 6& 2& 1& 5& 3\end{array}\right)$$ を考える。$S_6$ において $\sigma$ と共役な元、すなわち $\tau \sigma {\tau }^{-1}$（$\tau \in S_6$）の形に表される置換の個数を求めよ。

$6$ 次対称群 $S_6$ の元
$$\sigma =(14)(265)$$
を考える。$S_6$ において $\sigma$ と共役な元（$\tau \sigma {\tau }^{-1}$（$\tau \in S_6$）の形に表される元）の個数を求めよ。ただし $\sigma$ 自身も数に含める。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式 $$f(x)=x^4-5$$ の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=x^4-4x^2-5$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式 $$f(x)=x^4-5$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。ここで $L$ は、複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体である。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

位数 $20$ の二面体群
$$D_{10}=⟨r,s\mid r^{10}=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_{10}$ の共役類のうち、元の個数が $1$ である類の個数、元の個数が $2$ である類の個数、元の個数が $5$ である類の個数を、この順に組で求めよ。

位数 $20$ の二面体群
$$D_{10}=⟨r,s\mid r^{10}=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_{10}$ の元は $r^k,s{r}^k(k=0,1,\dots ,9)$ の $20$ 個である。$D_{10}$ の共役類のうち、ちょうど $2$ 個の元からなる共役類の個数を求めよ。

位数 $20$ の二面体群
$$D_{10}=⟨r,s\mid r^{10}=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_{10}$ の元は $r^k,s{r}^k(k=0,1,\dots ,9)$ の $20$ 個である。$D_{10}$ の共役類の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、剰余環
$$R={\mathbb{F}}_3[x]/(x^4-x)$$
を考える。$R$ のイデアルの個数（零イデアル $\{0\}$ と $R$ 自身も含める）と、$R$ の単元（乗法に関する逆元をもつ元）の個数を、この順に組で求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、多項式環 ${\mathbb{F}}_2[x]$ の元
$$f(x)=x^3(x^2+x+1)$$
を考える。剰余環 $R={\mathbb{F}}_2[x]/(f)$ について、$R$ のイデアルの個数（零イデアル $\{0\}$ と $R$ 自身も含める）と、$R$ の単元（乗法に関する逆元をもつ元）の個数を、この順に組で答えよ。

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とし、多項式環 ${\mathbb{F}}_5[x]$ の元
$$f(x)=(x-1{)}^2(x^2+2)$$
を考えます。剰余環 $R={\mathbb{F}}_5[x]/(f)$ について、$R$ のイデアルの個数（零イデアル $\{0\}$ と $R$ 自身も含める）と、$R$ の単元（乗法に関する逆元をもつ元）の個数を、この順に組で求めなさい。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-2)(x^4-2x^2-3)$$
について、$f(x)$ のすべての根を複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $\mathbb{Q}$ に添加した最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-7)(x^4-9)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-3)(x^4-9)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とし、ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ を考える。剰余環 $R=\mathbb{Z}[i]/(15)$ のイデアルの個数を求めよ。ただし、$R$ 自身と零イデアル $\{0\}$ もイデアルとして数える。

$i$ を虚数単位とし、ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$（通常の加法・乗法による可換環）を考える。$45$ で生成される $\mathbb{Z}[i]$ の単項イデアルを $(45)=45\mathbb{Z}[i]=\{45\alpha \mid \alpha \in \mathbb{Z}[i]\}$ とし、剰余環 $R=\mathbb{Z}[i]/(45)$ を考える。可換環 $R$ のイデアル（$R$ の加法部分群 $J$ であって、任意の $r\in R,x\in J$ に対して $rx\in J$ を満たすもの）の個数を求めよ。ただし、$R$ 自身と零イデアル $\{0\}$ も個数に含める。

$i$ を虚数単位とし、ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ を考える。剰余環 $R=\mathbb{Z}[i]/(30)$ のイデアルの個数を求めよ。ただし、零イデアルと $R$ 自身も数に含める。

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とし、$K={\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$ とする。$K$ は体である。$K$ の乗法群 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ の生成元（$K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、$f(x)=x^3+2x+1\in {\mathbb{F}}_3[x]$ とする。剰余環 $K={\mathbb{F}}_3[x]/(f)$ を考える。$f$ が ${\mathbb{F}}_3$ 上既約であることを確かめたうえで、$K$ の乗法群 $K^{\times }$ の生成元（$K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、$f(x)=x^4+x+1$ とする。$f(x)$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約であることが知られている（このことは証明せずに用いてよい）。剰余環 $K={\mathbb{F}}_2[x]/(f(x))$ を考える。$K$ の $0$ でない元全体がなす乗法群 $K^{\times }$ の生成元（すなわち $K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $10$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $10$ 次の既約多項式の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

$i$ を虚数単位とし、複素数 $\alpha =\sqrt{3}+i$ を考える。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $p(x)$ を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^2-2)(x^2+3)(x^2-6)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の $3$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

位数 $18$ の二面体群
$$D_9=⟨r,s\mid r^9=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_9$ の共役類の個数を $k$、$s$ を含む共役類の元の個数を $c$ とする。組 $(k,c)$ をこの順に求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $6$ の巡回群であるものの個数を求めよ。

$R$ を単位元 $1$ をもつ有限可換環とし、$R^{\times }$ で $R$ の単元（乗法に関する可逆元）全体のなす乗法群を表す。$I$ を $R$ のイデアルで、任意の $a,b\in I$ に対して $ab=0$ を満たすものとする。このとき
$$|R^{\times }|=|I|\cdot |(R/I{)}^{\times }|$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、群の準同型定理（第一同型定理）は用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の奇数とし、$D_n$ を位数 $2n$ の二面体群とする。すなわち、$D_n$ は位数 $n$ の元 $r$ と位数 $2$ の元 $s$ で生成され、$sr{s}^{-1}=r^{-1}$ を満たし、$D_n$ のすべての元は
$$r^k(0\le k\le n-1),r^{k}s(0\le k\le n-1)$$
のいずれかとしてただ 1 通りに表される群とする（この事実は用いてよい）。このとき、$s$ の $D_n$ における共役類 $\{gs{g}^{-1}\mid g\in D_n\}$ は、集合 $\{r^{k}s\mid 0\le k\le n-1\}$ に等しいことを証明せよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^2+3)(x^2-2)$$
を考える。$f(x)$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$（$\mathbb{C}$ の部分体とする）とするとき、ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

可換環
$$R=(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})[x]/(x^2+x+1)$$
を考える。$R$ の単元（乗法に関する逆元をもつ元）の個数を $a$、$R$ のイデアルの個数（零イデアル $\{0\}$ と $R$ 自身も含める）を $b$ とする。組 $(a,b)$ をこの順に求めよ。

正十角形の頂点に、反時計回りに $1,2,\dots ,10$ と番号を付ける。この正十角形を自分自身に重ねる合同変換（回転と裏返し）全体は位数 $20$ の二面体群 $D_{10}$ をなす。各変換を頂点の番号の置換とみなすことで、$D_{10}$ を $10$ 次対称群 $S_{10}$ の部分群 $H$ とみなす。

$S_{10}$ の元 $\sigma$ のうち、$H$ のある元と $S_{10}$ の中で共役であるもの（すなわち $\sigma \in {\bigcup }_{g\in S_{10}}gH{g}^{-1}$ を満たすもの）の個数を求めよ。

$7$ 次対称群 $S_7$ において、位数がちょうど $6$ である元全体を考える。これらの元はちょうど $k$ 個の共役類に分かれる。また、これらの元の個数を $N$ とする。組 $(k,N)$ をこの順に求めよ。

有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^4-3)$$
の $\mathbb{C}$ 内での最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$60$ と互いに素な剰余類全体がなす乗法群を $G=(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}{)}^{\times }$ とする。$G$ の部分群のうち、位数がちょうど $4$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、$K$ を元の個数が $2^{12}$ の有限体とする。$K$ の元 $\alpha$ のうち、${\mathbb{F}}_2$ 上の最小多項式の次数がちょうど $12$ であるもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2(\alpha )=K$ となるもの）の個数を求めよ。

位数 $24$ の二面体群
$$D_{12}=⟨r,s\mid r^{12}=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_{12}$ の元の順序対 $(x,y)$ であって $xy=yx$ を満たすものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の位数がちょうど $4$ である元の個数を $a$、$G$ の位数 $4$ の部分群の個数を $b$ とする。組 $(a,b)$ をこの順に求めよ。

$6$ 次交代群 $A_6$（$6$ 次対称群 $S_6$ の偶置換全体からなる部分群）を考える。$A_6$ の共役類（$A_6$ の元による共役で分類したもの）の個数を $k$、$A_6$ の共役類のうち元の個数が最大であるものの元の個数を $M$ とする。組 $(k,M)$ をこの順に求めよ。

$5$ 次対称群 $S_5$ を考える。$S_5$ の位数 $3$ の部分群の個数を $p$、位数 $4$ の巡回部分群の個数を $q$、位数 $5$ の部分群の個数を $r$ とする。組 $(p,q,r)$ をこの順に求めよ。

$f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ を $\mathbb{Q}$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$L\subset \mathbb{C}$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体、$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ をそのガロア群とする。$G$ がアーベル群であるならば、$|G|=n$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $\mathbb{Q}$ 上既約な多項式は重根をもたない
- $\alpha ,\beta \in L$ がともに $f(x)$ の根ならば、$\sigma (\alpha )=\beta$ を満たす $\sigma \in G$ が存在する
- 有限群の作用に関する軌道・安定化群の定理（軌道の大きさと安定化群の位数の積は群の位数に等しい）

$q$ を素数のべきとし、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 個の元からなる有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の多項式が既約であるとは、次数が $1$ 以上で、次数 $1$ 以上の 2 つの多項式の積に表せないことをいう。このとき、${\mathbb{F}}_q$ 上のモニックな $3$ 次既約多項式の個数は
$$\frac{q^3-q}{3}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q[x]$ において、次数 $1$ 以上のモニック多項式はモニックな既約多項式の積に（並べ方を除いて）ただ 1 通りに分解されること（素因数分解の一意性）は用いてよい。

$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$（$\sqrt[3]{3}$ は $3$ の実数の $3$ 乗根）とする。拡大次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を $d$ とし、$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（最高次の係数が $1$ のもの）を $p(x)$ とする。組 $(d,p(1))$ をこの順に求めよ。

$10$ 次交代群 $A_{10}$（$10$ 次対称群 $S_{10}$ の偶置換全体がなす部分群）を考える。$A_{10}$ の共役類（$A_{10}$ の中での共役による同値類）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）$f(x)$ のうち、原始多項式でないものの個数を求めよ。ただし、${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次既約多項式 $f(x)$ が原始多項式であるとは、$f(x)$ の根（元の個数が $2^8=256$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{256}$ の中の根）が乗法群 ${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ の生成元であることをいう。

正 $12$ 角形の対称性全体がなす二面体群
$$D_{12}=⟨r,s\mid r^{12}=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える。$D_{12}$ の位数は $24$ であり、その元は $r^i$ と $r^{i}s$（$0\le i\le 11$）で重複なく表される。$D_{12}$ の部分群の個数を求めよ。ただし、単位元だけからなる部分群 $\{e\}$ と $D_{12}$ 自身も数える。

$\zeta =e^{2\pi i/9}$ とし（$i$ は虚数単位）、複素数
$$\alpha =\zeta +{\zeta }^3+{\zeta }^8$$
を考える。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（$\alpha$ を根にもつ $\mathbb{Q}$ 係数のモニック多項式のうち次数が最小のもの）$p(x)$ を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^6+3)(x^2+1)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とし、ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ を考える。剰余環 $R=\mathbb{Z}[i]/(12)$ について、$R$ の単元（可逆元）の個数を $u$、$R$ のイデアルの個数を $t$ とする。組 $(u,t)$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、多項式環 ${\mathbb{F}}_3[x]$ の元
$$f(x)=x^2(x+1)(x^2+1{)}^2$$
を考える。剰余環 $R={\mathbb{F}}_3[x]/(f(x))$ の単元（乗法の逆元をもつ元）の個数を $u$、$R$ のイデアル（零イデアルと $R$ 自身も含める）の個数を $m$ とする。組 $(u,m)$ をこの順に求めよ。

実数 $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ を考える（$\sqrt[3]{3}$ は $3$ の実数の $3$ 乗根）。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式を $p(x)$ とし、拡大次数を $n=[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ とする。組 $(n,p(1))$ をこの順に求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-2)(x^4-3)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $4$ 次のモニック既約多項式 $f(x)$（最高次の係数が $1$ である既約多項式）のうち、次の条件を満たすものの個数を求めよ。

条件: $f(x)$ の根 $\alpha$（元の個数が $81$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{81}$ の元）の乗法群 ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ における位数が $80$ ではない。

$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とし（$i$ は虚数単位）、環 $\mathbb{Z}[\omega ]=\{a+b\omega \mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ を考える。剰余環 $R=\mathbb{Z}[\omega ]/(63)$ の単元（乗法の逆元をもつ元）の個数を $u$、べき零元（ある正の整数 $k$ に対して $a^k=0$ となる元 $a$）の個数を $v$ とする。組 $(u,v)$ をこの順に求めよ。

整数係数の多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $I=(30,x^3-x-1)$ による剰余環 $R=\mathbb{Z}[x]/I$ を考える。$R$ の極大イデアルの個数を $m$、$R$ の単元（乗法の逆元をもつ元）の個数を $u$ とする。組 $(m,u)$ をこの順に求めよ。

有理数係数の多項式 $f(x)=(x^4-3)(x^3-2)$ の、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$K$ を体、$L$ を $K$ の有限次拡大体とし、$m=[L:K]$ とおく。$f(x)\in K[x]$ を $K$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$e=\gcd (m,n)$ とおく。$f(x)$ を $L[x]$ の多項式とみて
$$f(x)=c{p}_1(x)p_2(x)\cdots p_r(x)(c\in L,c\ne 0)$$
と、$L$ 上既約なモニック多項式 $p_1(x),\dots ,p_r(x)\in L[x]$（同じものがあってもよい）の積に分解する。このとき、因子の個数 $r$ は $r\le e$ を満たすことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $L[x]$ の次数 $1$ 以上の多項式は、上のように $L$ 上既約なモニック多項式の積に分解できる
- 拡大次数の連鎖律: 体の拡大 $F\subset E\subset M$ について $[M:F]=[M:E][E:F]$（右辺の 2 つが有限ならば左辺も有限であり、左辺が有限ならば右辺の 2 つも有限である）
- 体 $F$ 上の多項式 $g(x)$（次数 $1$ 以上）に対して、$g(x)$ が根をもつような $F$ の拡大体が存在する
- $\alpha$ が体 $F$ 上代数的ならば、$[F(\alpha ):F]$ は $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しく、$\alpha$ を根にもつ $F[x]$ の多項式はすべて最小多項式で割り切れる

整数係数の多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $(12,x^3-x)$ による剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(12,x^3-x)$$
を考える。$R$ の単元（乗法に関する可逆元）の個数を $u$、$R$ のイデアルの個数を $t$ とする。ただし、イデアルには零イデアル $\{0\}$ と $R$ 自身も含める。組 $(u,t)$ をこの順に求めよ。