代数学の問題

手順 1：巡回置換の積に分解する。

まだ使っていない最小の数から出発し、$\sigma$ で移る先をたどって、出発点に戻るまで続けます。

• $1$ から：$1\to 4\to 6\to 1$。よって巡回置換 $(146)$（長さ $3$）。
• まだ現れていない最小の数 $2$ から：$2\to 7\to 2$。よって $(27)$（長さ $2$）。
• まだ現れていない最小の数 $3$ から：$3\to 9\to 8\to 5\to 3$。よって $(3985)$（長さ $4$）。

これで $1$ から $9$ までのすべての数が現れたので、
$$\sigma =(146)(27)(3985)$$
と互いに素な（共通の数を含まない）巡回置換の積に分解できます。

手順 2：位数を求める。

長さ $\ell$ の巡回置換の位数は $\ell$ です。互いに素な巡回置換どうしは可換なので、
$${\sigma }^m=(146{)}^m(27{)}^m(3985{)}^m$$
となり、これが恒等置換になるのは、各因子が別々の数を動かすことから、各因子がすべて恒等置換になるとき、すなわち $m$ が $3,2,4$ のすべての倍数であるときです。そのような最小の正の整数 $m$ は最小公倍数で、
$$\mathrm{lcm}(3,2,4)=12$$
です（$3=3$、$2=2$、$4=2^2$ より $2^2\cdot 3=12$）。

したがって $\sigma$ の位数は $12$ です。

$\sigma$ を互いに素な巡回置換の積に分解する。
$1\to 4\to 6\to 1$ より $(146)$（長さ 3）。
$2\to 7\to 2$ より $(27)$（長さ 2）。
$3\to 9\to 8\to 5\to 3$ より $(3985)$（長さ 4）。
長さの合計は $3+2+4=9$ で、すべての数を使い切っている。
したがって $\sigma =(146)(27)(3985)$ である。
互いに素な巡回置換の積の位数は、各巡回置換の長さの最小公倍数に等しい。
よって位数は $\mathrm{lcm}(3,2,4)=12$。
検算：${\sigma }^{12}$ では、長さ 3, 2, 4 の各巡回置換がいずれも恒等置換になる。また $m<12$ では、$3,2,4$ のすべてで割り切れることはない。したがって $12$ が最小である。