置換の巡回置換分解と位数

$9$ 次対称群 $S_9$ の元 $\sigma$ を
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 4& 7& 9& 6& 3& 1& 2& 5& 8\end{array}\right)$$
で定める（上の段の数 $i$ の真下にある数が $\sigma (i)$ である）。$\sigma$ の位数、すなわち ${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$ を求めよ。

$8$ 次対称群 $S_8$ の元
$$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 3& 5& 6& 7& 8& 1& 2& 4\end{array}\right)$$
を考える。$\sigma$ の位数（${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$）を求めよ。

$9$ 次対称群 $S_9$ の元
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 5& 6& 1& 7& 9& 8& 4& 2& 3\end{array}\right)$$
を考える（上の段の数字が、そのすぐ下の段の数字に移る）。$\sigma$ の位数、すなわち ${\sigma }^m$ が恒等置換になる最小の正の整数 $m$ を求めよ。

$7$ 次交代群 $A_7$ の元 $\sigma =(123)(456)$ を考える。$\sigma$ の $A_7$ における中心化群
$$C_{A_7}(\sigma )=\{\tau \in A_7\mid \tau \sigma =\sigma \tau \}$$
の位数を求めよ。

正十角形の頂点に、反時計回りに $1,2,\dots ,10$ と番号を付ける。この正十角形を自分自身に重ねる合同変換（回転と裏返し）全体は位数 $20$ の二面体群 $D_{10}$ をなす。各変換を頂点の番号の置換とみなすことで、$D_{10}$ を $10$ 次対称群 $S_{10}$ の部分群 $H$ とみなす。

$S_{10}$ の元 $\sigma$ のうち、$H$ のある元と $S_{10}$ の中で共役であるもの（すなわち $\sigma \in {\bigcup }_{g\in S_{10}}gH{g}^{-1}$ を満たすもの）の個数を求めよ。

正四面体の $6$ 本の辺のそれぞれを、赤・青・黄の $3$ 色のうちのどれか $1$ 色で塗る。ただし、$3$ 色すべてを少なくとも $1$ 回ずつ使うものとする。正四面体の回転（向きを保つ合同変換）で互いに重ね合わせられる塗り方は同じとみなすとき、異なる塗り方は何通りあるか求めよ。

$7$ 次対称群 $S_7$ において、位数がちょうど $6$ である元全体を考える。これらの元はちょうど $k$ 個の共役類に分かれる。また、これらの元の個数を $N$ とする。組 $(k,N)$ をこの順に求めよ。

$6$ 次交代群 $A_6$（$6$ 次対称群 $S_6$ の偶置換全体からなる部分群）を考える。$A_6$ の共役類（$A_6$ の元による共役で分類したもの）の個数を $k$、$A_6$ の共役類のうち元の個数が最大であるものの元の個数を $M$ とする。組 $(k,M)$ をこの順に求めよ。

$5$ 次対称群 $S_5$ を考える。$S_5$ の位数 $3$ の部分群の個数を $p$、位数 $4$ の巡回部分群の個数を $q$、位数 $5$ の部分群の個数を $r$ とする。組 $(p,q,r)$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$$G=\{f_{a,b}:{\mathbb{F}}_7\to {\mathbb{F}}_7,f_{a,b}(x)=ax+b\mid a\in {\mathbb{F}}_7^{\times },b\in {\mathbb{F}}_7\}$$ を写像の合成に関する群（位数 $42$）とする。${\mathbb{F}}_7$ の各元に赤・青・緑の $3$ 色のいずれかを塗る塗り方全体の集合を $X$ とする（$|X|=3^7$）。$c\in X$ を写像 $c:{\mathbb{F}}_7\to \{\text{赤},\text{青},\text{緑}\}$ とみなし、$g\in G$ を $(g\cdot c)(x)=c(g^{-1}(x))$ によって $X$ に作用させる。この作用の軌道の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$$G=\{{\phi }_{a,b}:{\mathbb{F}}_5\to {\mathbb{F}}_5,{\phi }_{a,b}(x)=ax+b\mid a\in {\mathbb{F}}_5^{\times },b\in {\mathbb{F}}_5\}$$ を写像の合成を積とする群（位数 $20$）とする。写像 $f:{\mathbb{F}}_5\to \{1,2,3\}$ 全体の集合を $X$ とし（$|X|=3^5$）、$G$ は $X$ に $$(g\cdot f)(x)=f\left(g^{-1}(x)\right)(g\in G,f\in X,x\in {\mathbb{F}}_5)$$ によって作用する。この作用による $X$ の軌道の個数を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$n$ 本のひものブレイド群 $B_n$ を、生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ と関係式
$${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i(|i-j|\ge 2),{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}(1\le i\le n-2)$$
によるアルティンの表示で定める。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが $1$ 回交差する初等ブレイドを表す（${\sigma }_i$ と ${\sigma }_i^{-1}$ は交差の上下が逆）。

${\sigma }_1^{\pm 1},\dots ,{\sigma }_{n-1}^{\pm 1}$ からなる語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}{\sigma }_{i_2}^{{\epsilon }_2}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$（$m\ge 0$, ${\epsilon }_k\in \{1,-1\}$）に対し、その指数和を $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k$ とする。また、$w$ の文字を上から順に初等ブレイドとして並べたブレイドの図式で、上端の位置 $j$ の端点と下端の位置 $j$ の端点（$j=1,\dots ,n$）を互いに交わらない弧で結んで得られる絡み目の図式を、$w$ の閉包図式とよぶ。

語 $w$ の閉包図式が結び目（$1$ 成分の絡み目）を表すとする。このとき、$B_n$ において $w$ と同じ元を表す任意の語 $w^{\prime }$ に対して $e(w^{\prime })\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ であることを証明せよ。

集合 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ の置換（$\{1,\dots ,7\}$ から自分自身への全単射）$\sigma$ を考える。$\sigma$ を互いに素な巡回置換の積に分解する。このとき、不動点も長さ $1$ の巡回として数える。分解に現れる巡回の個数がちょうど $3$ であり、しかも $1$ と $2$ が同じ巡回に属するような $\sigma$ は何個あるか。

$10$ 次交代群 $A_{10}$（$10$ 次対称群 $S_{10}$ の偶置換全体がなす部分群）を考える。$A_{10}$ の共役類（$A_{10}$ の中での共役による同値類）の個数を求めよ。

正八面体の $8$ つの面を、赤・青・緑の $3$ 色で塗る。ただし、赤の面がちょうど $2$ 枚、青の面がちょうど $3$ 枚、緑の面がちょうど $3$ 枚となるように塗る。正八面体の回転（空間内の向きを保つ合同変換で正八面体を自分自身に重ねるもの、全部で $24$ 個）によって互いに移り合う塗り方は同じものとみなすとき、異なる塗り方は何通りあるか。

位数 $144$ の群は単純群でないこと、すなわち位数 $144$ の任意の群 $G$ は $\{e\}$ と $G$ 以外の正規部分群をもつことを証明せよ。ただし、ここで単純群とは、単位群でなく、正規部分群が自明なもの（$\{e\}$ と自分自身）しかない群のこととする。シローの定理（シロー部分群の存在・共役性、およびシロー $p$ 部分群の個数 $n_p$ が $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ かつ $n_p$ が $|G|$ を割り切ること）、ラグランジュの定理、位数 $p^2$（$p$ は素数）の群が可換であることは用いてよい。