代数学の問題

$S_{10}$ では、2 つの置換が共役であることと、巡回置換分解の型（サイクル型）が一致することは同値である。したがって、$H$ の元に現れるサイクル型をすべて求め、それぞれの型の $S_{10}$ の共役類の大きさを足せばよい。

$H$ の元のサイクル型

$r$ を $36^{\circ }$ の回転とする。$r$ は頂点の置換として $10$-サイクル $(12\cdots 10)$ である。$r^k$（$0\le k\le 9$）は位数 $d=10/\gcd (k,10)$ の元で、各頂点の軌道の長さはすべて $d$ になるから、サイクル型は $d^{10/d}$ である。
- $k=0$：単位元。型 $1^{10}$
- $k=1,3,7,9$：型 $10$
- $k=2,4,6,8$：型 $5^2$
- $k=5$：型 $2^5$

裏返し（鏡映）は $10$ 個ある。$10$ は偶数なので、軸は次の 2 種類である。
- 向かい合う 2 頂点を通る軸（$5$ 本）：その 2 頂点を固定し、残り $8$ 頂点を $4$ 組ずつ入れ替える。型 $2^4{1}^2$
- 向かい合う 2 辺の中点を通る軸（$5$ 本）：固定する頂点はなく、$10$ 頂点を $5$ 組ずつ入れ替える。型 $2^5$

よって、$H$ の元に現れるサイクル型は
$$1^{10},10,5^2,2^5,2^4{1}^2$$
の $5$ 種類である（$r^5$ と辺の中点を通る鏡映は、$H$ の中では共役でないが、$S_{10}$ の中では同じ型 $2^5$ なので共役になる）。

各共役類の大きさ

サイクル型が $1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$ の共役類の大きさは $\frac{10!}{{\prod }_j{j}^{m_j}{m}_j!}$ である。$10!=3628800$ を用いる。
- $1^{10}$：$1$
- $10$：$\frac{10!}{10}=362880$
- $5^2$：$\frac{10!}{5^2\cdot 2!}=\frac{3628800}{50}=72576$
- $2^5$：$\frac{10!}{2^5\cdot 5!}=\frac{3628800}{3840}=945$
- $2^4{1}^2$：$\frac{10!}{2^4\cdot 4!\cdot 1^2\cdot 2!}=\frac{3628800}{768}=4725$

合計
$$1+362880+72576+945+4725=441127$$

よって求める個数は $441127$ である。

共役な置換は同じ巡回型（サイクル型）をもつので、$H$ の元の巡回型を調べ、その型をもつ $S_{10}$ の元の個数を数える。

$H$ の元の巡回型
- 回転 $r^k$（$k=0,\dots ,9$）は、$\gcd (k,10)$ 個の長さ $10/\gcd (k,10)$ の巡回置換の積になる。
- $k=0$: 恒等置換（型 $1^{10}$）
- $k=5$: 型 $2^5$
- $k=2,4,6,8$: 型 $5^2$
- $k=1,3,7,9$: 型 $10$（10 サイクル）
- 裏返し（10 個）
- 頂点と対頂点を通る軸（5 個）: 2 頂点を固定し、残りの 8 頂点が 4 個の互換になるので、型 $1^2{2}^4$
- 辺の中点と対辺の中点を通る軸（5 個）: 型 $2^5$

以上より、現れる巡回型は $1^{10},2^5,5^2,10,1^2{2}^4$ の 5 種類である。

$S_{10}$ での個数
- $1^{10}$: $1$
- $2^5$: $\frac{10!}{2^5\cdot 5!}=\frac{3628800}{3840}=945$
- $5^2$: $\frac{10!}{5^2\cdot 2!}=\frac{3628800}{50}=72576$
- $10$ サイクル: $9!=362880$
- $1^2{2}^4$: $\frac{10!}{2!\cdot 2^4\cdot 4!}=\frac{3628800}{768}=4725$

合計
$1+945+72576+362880+4725=441127$

検算: $768\times 4725=3628800$ となり、型 $1^2{2}^4$ の個数は正しい。他の型の個数も同様に割り算が割り切れることを確認した。