代数学の問題

位数 $18$ の二面体群
$$D_9=⟨r,s\mid r^9=s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（$e$ は単位元）。$D_9$ の共役類の個数を $k$、$s$ を含む共役類の元の個数を $c$ とする。組 $(k,c)$ をこの順に求めよ。

正十角形の頂点に、反時計回りに $1,2,\dots ,10$ と番号を付ける。この正十角形を自分自身に重ねる合同変換（回転と裏返し）全体は位数 $20$ の二面体群 $D_{10}$ をなす。各変換を頂点の番号の置換とみなすことで、$D_{10}$ を $10$ 次対称群 $S_{10}$ の部分群 $H$ とみなす。

$S_{10}$ の元 $\sigma$ のうち、$H$ のある元と $S_{10}$ の中で共役であるもの（すなわち $\sigma \in {\bigcup }_{g\in S_{10}}gH{g}^{-1}$ を満たすもの）の個数を求めよ。

$R$ を単位元 $1$ をもつ有限可換環とし、$R^{\times }$ で $R$ の単元（乗法に関する可逆元）全体のなす乗法群を表す。$I$ を $R$ のイデアルで、任意の $a,b\in I$ に対して $ab=0$ を満たすものとする。このとき
$$|R^{\times }|=|I|\cdot |(R/I{)}^{\times }|$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、群の準同型定理（第一同型定理）は用いてよい。

$q$ を素数のべきとし、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 個の元からなる有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の多項式が既約であるとは、次数が $1$ 以上で、次数 $1$ 以上の 2 つの多項式の積に表せないことをいう。このとき、${\mathbb{F}}_q$ 上のモニックな $3$ 次既約多項式の個数は
$$\frac{q^3-q}{3}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q[x]$ において、次数 $1$ 以上のモニック多項式はモニックな既約多項式の積に（並べ方を除いて）ただ 1 通りに分解されること（素因数分解の一意性）は用いてよい。

$f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ を $\mathbb{Q}$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$L\subset \mathbb{C}$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体、$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ をそのガロア群とする。$G$ がアーベル群であるならば、$|G|=n$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $\mathbb{Q}$ 上既約な多項式は重根をもたない
- $\alpha ,\beta \in L$ がともに $f(x)$ の根ならば、$\sigma (\alpha )=\beta$ を満たす $\sigma \in G$ が存在する
- 有限群の作用に関する軌道・安定化群の定理（軌道の大きさと安定化群の位数の積は群の位数に等しい）