代数学の問題

自然な全射環準同型を $\pi :R\to R/I,\pi (r)=r+I$ とする。$\pi$ は環準同型なので $\pi (1)=1+I$ であり、$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$ が成り立つ。

ステップ 1: $\pi$ は群準同型 $\phi :R^{\times }\to (R/I{)}^{\times }$ を与える。
$u\in R^{\times }$ とすると、$u{u}^{-1}=1$ より $\pi (u)\pi (u^{-1})=\pi (1)=1+I$ である。よって $\pi (u)$ は $R/I$ の単元であり、$\phi (u)=\pi (u)$ と定めると $\phi :R^{\times }\to (R/I{)}^{\times }$ が定まる。$\pi$ が乗法を保つので $\phi (uv)=\phi (u)\phi (v)$ であり、$\phi$ は群準同型である。

ステップ 2（補題）: 任意の $a\in I$ に対して $1+a\in R^{\times }$ である。
$a\in I$ とすると、$-a\in I$ でもあり（$I$ は加法部分群）、$1-a\in R$ である。仮定より $a\cdot a=0$ なので
$$(1+a)(1-a)=1-a+a-a^2=1-a^2=1.$$
$R$ は可換なので $(1-a)(1+a)=1$ でもあり、$1+a$ は単元で逆元は $1-a$ である。

ステップ 3: $\phi$ は全射である。
$r+I\in (R/I{)}^{\times }$ を任意にとる。単元なので、ある $s\in R$ が存在して $(r+I)(s+I)=1+I$、すなわち $rs-1\in I$ である。$a=rs-1$ とおくと $a\in I$ で $rs=1+a$ となる。ステップ 2 より $1+a$ は単元なので、$t=s(1+a{)}^{-1}$ とおくと
$$rt=rs(1+a{)}^{-1}=(1+a)(1+a{)}^{-1}=1$$
となり、$r\in R^{\times }$ である。そして $\phi (r)=r+I$ なので、$\phi$ は全射である。

ステップ 4: $\mathrm{Ker}\phi =1+I=\{1+a\mid a\in I\}$ であり、$|\mathrm{Ker}\phi |=|I|$ である。
$u\in R^{\times }$ について、$u\in \mathrm{Ker}\phi$ $⟺$ $u+I=1+I$ $⟺$ $u-1\in I$ $⟺$ $u\in 1+I$ である。よって $\mathrm{Ker}\phi =R^{\times }\cap (1+I)$ である。ステップ 2 より $1+I\subset R^{\times }$ なので、$\mathrm{Ker}\phi =1+I$ となる。
さらに、写像 $I\to 1+I,a\mapsto 1+a$ は全射であり、$1+a=1+b$ ならば $a=b$ なので単射でもある。したがって $|1+I|=|I|$ である。

ステップ 5: 結論。
群の準同型定理より $R^{\times }/\mathrm{Ker}\phi \cong \mathrm{Im}\phi$ であり、ステップ 3 より $\mathrm{Im}\phi =(R/I{)}^{\times }$ である。$R$ は有限なので $R^{\times }$ も有限群であり、ラグランジュの定理より $|R^{\times }/\mathrm{Ker}\phi |=|R^{\times }|/|\mathrm{Ker}\phi |$ である。よって
$$|R^{\times }|=|\mathrm{Ker}\phi |\cdot |(R/I{)}^{\times }|=|I|\cdot |(R/I{)}^{\times }|$$
が成り立つ。（例: $R=\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$, $I=p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$（$p$ は素数）のとき $|I|=p$, $|(R/I{)}^{\times }|=p-1$ で、$|R^{\times }|=p(p-1)$ と一致する。）

以上により、$|R^{\times }|=|I|\cdot |(R/I{)}^{\times }|$ が示された。