代数学の問題
可換環
を考える。 の単元（乗法に関する逆元をもつ元）の個数を 、 のイデアルの個数（零イデアル と 自身も含める）を とする。組 をこの順に求めよ。
この問題で使うもの
- 剰余環のイデアルと単元の個数（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（26 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
中国剰余定理を使って を に分けると、 も 2 つの環の直積になります。直積環では、単元の個数もイデアルの個数も、それぞれの因子の個数の積になります。
ヒント 2
が 上と 上で既約かどうかを調べましょう。 では、 での像が でない元が単元になり、 の元はべき零になります。
ヒント 3
で、 は元の個数 の体です。 は 個の元をもち、極大イデアルは （元の個数 ）だけです。あとは の単元の個数とイデアルの個数を数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
中国剰余定理による分解
より、中国剰余定理から である。この同型を係数ごとに適用すると、多項式環とその剰余環についても次の同型が成り立つ。
直積環では、 が単元であることと、, がともに単元であることは同値である。したがって単元の個数は積になる。
また、直積 のイデアル は、べき等元 , を掛けることで （ は のイデアル、 は のイデアル）と一意に表せる。よってイデアルの個数も積になる。
について
に を代入すると、 で となり、根をもたない。2 次式なので は 上既約であり、 は元の個数 の体になる。
- 単元の個数：
- イデアル： と の 個
について
の元は （）と一意に表せるので、 である。
剰余環 を考える。 は でともに値 をとり、 上で根をもたない。よって既約であり、 は元の個数 の体である。また で、 である。
- のとき： より となる。 はべき零元なので単元ではない。
- のとき： の像は体 の でない元なので、ある について と書ける。 だから は単元であり、したがって も単元である。
よって の単元の個数は である。
次に のイデアルを数える。 なるイデアルは単元を含まないので、 である。 ならば、 でない がとれる。このとき である（ なら となるから）。したがって は単元であり、
となるので 、すなわち である。よって のイデアルは , , の 個である。
まとめ
答えは である。
別解
なので、中国剰余定理より となる。ここで 、 とおく。
について。 の判別式は である。平方数は だけなので は平方数でなく、 は 上既約である。よって となる。単元は 個、イデアルは と の 個。
について。 は位数 の環である。 は 上既約なので、 はガロア環 であり、局所環である。極大イデアルは 、剰余体は で、 である。単元は極大イデアル以外の元なので 個。イデアルは の 個（鎖環）。
まとめ。 単元の個数は 。積環のイデアルは各成分のイデアルの積になるので、。