代数学の問題

手順 1：$f$ を既約多項式の積に分解する。

$x$ は $1$ 次なので既約です。$g(x)=x^2+x+1$ は $2$ 次式なので、${\mathbb{F}}_2$ に根をもたなければ既約です。$g(0)=1\ne 0,g(1)=1+1+1=1\ne 0$ より根をもたないので、$g$ は既約です。したがって
$$f=x^3\cdot (x^2+x+1)$$
が既約分解で、$x$（$d=1$）が $e=3$ 乗、$x^2+x+1$（$d=2$）が $e=1$ 乗で現れます。

手順 2：イデアルの個数を数える。

${\mathbb{F}}_2[x]/(f)$ のイデアルは、$f$ のモニックな約元 $h$ に対するイデアル $(h)/(f)$ と $1$ 対 $1$ に対応します。$f$ のモニックな約元は
$$x^a(x^2+x+1{)}^b(a=0,1,2,3,b=0,1)$$
の形のものですべてです。$a$ の選び方が $4$ 通り、$b$ の選び方が $2$ 通りなので、積の法則よりイデアルの個数は $4\times 2=8$ です（$a=b=0$ のとき $R$ 自身、$a=3,b=1$ のとき零イデアル）。

手順 3：中国剰余定理で分解し、単元の個数を数える。

$x^3$ と $x^2+x+1$ は共通の既約因子をもたない（互いに素）ので、中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(x^3)\times {\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)$$
です。直積の元が単元であることは、各成分が単元であることと同値なので、単元の個数は各成分の単元の個数の積になります。

${\mathbb{F}}_2[x]/(g^e)$（$g$ は $d$ 次既約）の単元の個数は $p^{de}-p^{d(e-1)}$ です（$p=2$）。
- ${\mathbb{F}}_2[x]/(x^3)$：$d=1,e=3$ より $2^3-2^2=8-4=4$。（実際、$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ のうち $a_0=1$ のものが単元で、$2\times 2=4$ 個です。）
- ${\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)$：$d=2,e=1$ より $2^2-2^0=4-1=3$。（これは元の個数 $4$ の体なので、$0$ 以外の $3$ 個が単元です。）

よって単元の個数は $4\times 3=12$ です。

以上より、答えは $(8,12)$ です。

$x^2+x+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約である（$0,1$ を代入するといずれも $1$ で、根をもたない）。また $x^3$ と $x^2+x+1$ は互いに素である。よって中国剰余定理により $R\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(x^3)\times {\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)$ となる。

第1因子 ${\mathbb{F}}_2[x]/(x^3)$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ が PID なので単項イデアル環である。イデアルは $(x^k)$（$k=0,1,2,3$）の $4$ 個で、局所環である。
第2因子 ${\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)\cong {\mathbb{F}}_4$ は体で、イデアルは $2$ 個である。

積環のイデアルは各因子のイデアルの直積で尽くされる。したがってイデアルの個数は $4\times 2=8$。

単元の個数は、各因子の単元の個数の積である。
第1因子の単元は、定数項が $1$ の元で、$2^3-2^2=4$ 個。
第2因子の単元は $4-1=3$ 個。
積は $4\times 3=12$。

検算：$|R|=2^5=32$。単元の個数は $32\cdot (1-1/2)(1-1/4)=32\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=12$ で一致する（オイラー関数 $\phi (f)=2^3\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot$ より $\phi (x^3)\phi (x^2+x+1)=4\cdot 3=12$）。

よって答えは $(8,12)$。