剰余環のイデアルと単元の個数

$Z / n Z$ や $F_{p} [x] / (f)$ のイデアルが $n$ や $f$ の（モニックな）約元と 1 対 1 に対応することを使ってイデアルの個数を求められる。中国剰余定理で分解して、 $F_{p} [x] / (g^{e})$ （ $g$ は $d$ 次既約）の単元の個数 $p^{d e} - p^{d (e - 1)}$ を掛け合わせて、単元の個数を求められる

前提

剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
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整式の除法（数学II 複素数と方程式）

説明

剰余環 $Z / n Z$ や $F_{p} [x] / (f)$ について、イデアルの個数と単元（逆元をもつ元）の個数を、法 $n$ や $f$ の素因数分解から数えられるようになります。イデアルは法の約数（多項式ならモニックな約元）と 1 対 1 に対応します。単元は中国剰余定理で $F_{p} [x] / (g^{e})$ 型の環に分け、それぞれの単元の個数 $p^{d e} - p^{d (e - 1)}$ を掛け合わせて求めます。有限環の構造を調べる場面や、符号理論・暗号で多項式の剰余環を扱う場面で使います。

なぜそうしてよいのか

【用語】環 $R$ の部分集合 $I$ が空でなく、足し算・引き算で閉じていて、さらに任意の $r \in R$ , $a \in I$ について $r a \in I$ となるとき、 $I$ を $R$ のイデアルといいます。 $a$ の倍元全体を $(a)$ と書きます。逆元をもつ元を単元といいます。 $F_{p} [x]$ は係数を $Z / p Z$ （ $p$ は素数）にとった多項式全体です。最高次の係数が 1 の多項式をモニック、次数 1 以上で、より低い次数の 2 つの多項式の積に書けないものを既約といいます。整数の素因数分解と同じように、 $F_{p} [x]$ の多項式は（0 でない定数倍を除いて）モニックな既約多項式の積にただ一通りに分解されます。

【イデアルと約元の対応】まず、 $F_{p} [x]$ の 0 でないイデアル $J$ はどれも $(b)$ の形になります。 $J$ の 0 でない元のうち次数が最小のものを $b$ とし、定数倍してモニックにしておきます。 $a \in J$ を $b$ で割って $a = b q + r$ （ $de g r < de g b$ または $r = 0$ ）とすると、 $r = a - b q \in J$ です。 $b$ の次数の最小性から $r = 0$ 、つまり $a \in (b)$ となります（ $Z$ でも、正の最小元で割ると同じ議論ができます）。次に、 $F_{p} [x] / (f)$ のイデアル $I$ に対して、「 $f$ で割った余りが $I$ に入る多項式」全体 $J$ は $f$ を含むイデアルになります。逆に、 $f$ を含むイデアルからは $F_{p} [x] / (f)$ のイデアルが得られ、この対応は 1 対 1 です。 $J = (b)$ が $f$ を含むのは $b ∣ f$ のときに限ります。よって、イデアルは $f$ のモニックな約元 $b$ と 1 対 1 に対応します。 $f = c g_{1}^{e_{1}} \dots g_{k}^{e_{k}}$ と分解できれば、モニックな約元は $g_{1}^{a_{1}} \dots g_{k}^{a_{k}}$ （ $0 \leq a_{i} \leq e_{i}$ ）です。したがってイデアルの個数は $(e_{1} + 1) \dots (e_{k} + 1)$ になります。 $Z / n Z$ なら、 $n$ の正の約数の個数です。

【単元の個数】 $f = f_{1} f_{2}$ で $f_{1}, f_{2}$ が共通の既約因子をもたなければ、 $h \mapsto (h mod f_{1}, h mod f_{2})$ は環の同型 $F_{p} [x] / (f) ≅ F_{p} [x] / (f_{1}) \times F_{p} [x] / (f_{2})$ を与えます（整数の中国剰余定理と同じです）。成分ごとに掛け算するので、単元は「両成分が単元である組」に対応し、単元の個数は積になります。そこで $g$ を $d$ 次既約として $F_{p} [x] / (g^{e})$ を考えます。元は次数 $d e$ 未満の余り全体なので、全部で $p^{d e}$ 個あります。 $g ∣ h$ なら $h^{e}$ は $g^{e}$ で割り切れて $0$ になるので、 $h$ は単元ではありません（ $h u = 1$ なら $h^{e} u^{e} = 1 \neq = 0$ となって矛盾します）。 $g ∤ h$ なら、 $h$ と $g^{e}$ で生成されるイデアル ${u h + v g^{e}} = (c)$ を考えます。 $c$ は $g^{e}$ のモニックな約元なので $g^{k}$ の形で、しかも $h$ を割ります。よって $c = 1$ です。 $u h + v g^{e} = 1$ となるので、 $u$ が $h$ の逆元になります。非単元は $h = g k$ （ $de g k < d (e - 1)$ ）の形の $p^{d (e - 1)}$ 個です。したがって単元の個数は $p^{d e} - p^{d (e - 1)}$ となります。

手順

法を分解する： $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}$ 、または $f = c g_{1}^{e_{1}} \dots g_{k}^{e_{k}}$ （ $c \neq = 0$ は定数、 $g_{i}$ は相異なるモニック既約多項式で $de g g_{i} = d_{i}$ ）。既約かどうかは $F_{p}$ で考えて確かめる。
イデアルの個数を求める：モニックな（正の）約元の個数 $(e_{1} + 1) (e_{2} + 1) \dots (e_{k} + 1)$ が答え。 $0$ と環全体も含めて数える。
中国剰余定理で分ける： $F_{p} [x] / (f) ≅ \prod_{i} F_{p} [x] / (g_{i}^{e_{i}})$ 。
各成分の単元の個数を求める： $F_{p} [x] / (g_{i}^{e_{i}})$ の単元は $p^{d_{i} e_{i}} - p^{d_{i} (e_{i} - 1)}$ 個（ $Z / p^{e} Z$ なら $p^{e} - p^{e - 1}$ 個）。
掛け合わせる：単元の個数 $= \prod_{i} (p^{d_{i} e_{i}} - p^{d_{i} (e_{i} - 1)})$ 。

例題

環 $R = F_{2} [x] / (x^{5} + x^{4} + x^{3})$ のイデアルの個数と単元の個数を、この順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x^{5} + x^{4} + x^{3} = x^{3} (x^{2} + x + 1)$ と分解します。 $x^{2} + x + 1$ に $x = 0, 1$ を代入するとどちらも $1$ で、 $F_{2}$ に根をもちません。2 次式が 1 次因子をもてば根があるはずなので、 $x^{2} + x + 1$ は既約です。よって $g_{1} = x$ （ $d_{1} = 1, e_{1} = 3$ ）、 $g_{2} = x^{2} + x + 1$ （ $d_{2} = 2, e_{2} = 1$ ）です。
【手順 2】モニックな約元は $x^{a} (x^{2} + x + 1)^{b}$ （ $0 \leq a \leq 3$ , $0 \leq b \leq 1$ ）なので、イデアルは $(3 + 1) (1 + 1) = 8$ 個です。
【手順 3】中国剰余定理より $R ≅ F_{2} [x] / (x^{3}) \times F_{2} [x] / (x^{2} + x + 1)$ です。
【手順 4】 $F_{2} [x] / (x^{3})$ の単元は $2^{3} - 2^{2} = 4$ 個です。 $F_{2} [x] / (x^{2} + x + 1)$ の単元は $2^{2} - 2^{0} = 3$ 個です。
【手順 5】単元の個数は $4 \times 3 = 12$ 個です（全体 $2^{5} = 32$ 個のうち 12 個）。

答え: $(8, 12)$

よくある誤り

モニックでない約元まで数えてしまう誤り。たとえば $F_{3} [x] / (x^{2})$ で $x$ と $2 x$ を別々に数えると、 $(1), (x), (2 x), (x^{2})$ の 4 個になってしまう。 $(x) = (2 x)$ なので、正しくは $(1), (x), (x^{2})$ の 3 個（ $= 2 + 1$ ）。
単元の個数の公式で次数 $d$ を忘れ、 $p^{e} - p^{e - 1}$ としてしまう誤り。 $F_{2} [x] / (x^{2} + x + 1)$ で $2^{1} - 2^{0} = 1$ とするのは誤りで、正しくは $2^{2 \cdot 1} - 2^{2 \cdot 0} = 3$ 。
係数を整数のまま見て分解を誤る誤り。 $F_{2}$ では $x^{2} + 1 = (x + 1)^{2}$ なので、 $F_{2} [x] / (x^{2} + 1)$ は $d = 1, e = 2$ の場合にあたる。既約とみて $2^{2} - 1 = 3$ とするのは誤りで、正しくは単元 $2^{2} - 2^{1} = 2$ 個、イデアル $3$ 個。
イデアルを数えるときに、零イデアル ${0}$ や環全体を除いてしまう誤り。 $Z /12 Z$ のイデアルは $12$ の正の約数 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ に対応して 6 個（ $(1)$ が全体、 $(12)$ が ${0}$ ）で、4 個ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウス整数の素元分解と剰余環（大学数学代数学）
有限体の構造と部分体（大学数学代数学）
剰余環の素イデアル（対応定理）（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
加群のテンソル積（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）