可換環論・ホモロジー代数の問題

中国剰余定理で分解する. $x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上で根をもたない（$0^2+1=1,1^2+1=2,2^2+1=5\equiv 2$）ので，2 次式として既約である．また $x=1$ は $x^2+1$ の根でないので，$(x-1{)}^2$ と $x^2+1$ は互いに素である．よって中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1).$$
直積環の単数群は各成分の単数群の直積なので，$|R^{\times }|$ は各成分の単数の個数の積である．

第 1 成分. $B={\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2)$ は $t=x-1$ とおくと ${\mathbb{F}}_3[t]/(t^2)$ で，元は $a+bt(a,b\in {\mathbb{F}}_3)$ の 9 個．$B$ は唯一の極大イデアル $(t)$ をもつ局所環で，$a+bt$ が単数であることと $a\ne 0$ は同値である（$a\ne 0$ なら $(a+bt)(a^{-1}-a^{-2}bt)=1$，$a=0$ なら $(bt)\cdot t=0$ より零因子）．よって単数は $2\cdot 3=6$ 個．

第 2 成分. $x^2+1$ は既約なので ${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$ は位数 $3^2=9$ の体 ${\mathbb{F}}_9$ であり，単数は $0$ 以外の $8$ 個．

結論.
$$|R^{\times }|=6\times 8=48.$$

${\mathbb{F}}_3$ 上 $x^2+1$ は根をもたない（$0^2+1=1,1^2+1=2,2^2+1=2$）ので既約である。$(x-1{)}^2$ と $x^2+1$ は互いに素（$x-1$ は $x^2+1$ の因子でない）なので、中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1).$$

第 1 因子 $S={\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2)$ は $t=x-1$ として ${\mathbb{F}}_3[t]/(t^2)$ である。これは局所環で、極大イデアルは $(t)$、剰余体は ${\mathbb{F}}_3$。単数は $a+bt$ で $a\ne 0$ のものなので、$|S^{\times }|=2\cdot 3=6$。

第 2 因子は ${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_9$ で体なので、単数群の位数は $9-1=8$。

直積の単数群は単数群の直積なので
$$|R^{\times }|=6\cdot 8=48.$$

検算: $|R|=3^4=81$。非単数は $(x-1)$ の倍数または $(x^2+1)$ の倍数。$(x-1)$ で割り切れるもの: $R$ の $(x-1)$ 倍の集合は $27$ 個、$(x^2+1)$ で割り切れるもの: $9$ 個、両方（$(x-1)(x^2+1)$ の倍数）: $3$ 個。非単数は $27+9-3=33$ 個、単数は $81-33=48$。