可換環論・ホモロジー代数の問題

群環を多項式環の剰余環として表す。 $g\mapsto x$ により
$$R\cong (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]/(x^4-1)$$
である。$|R|=9^4=6561$。

方法1（中国剰余定理）. $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ であり、これは $\mathbb{Z}$ 上の恒等式なので $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]$ でも成り立つ。$3$ を法とすると $x-1,x+1,x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3[x]$ でどの $2$ つも互いに素である（$x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ に根をもたず既約、$x\pm 1$ は相異なる）。$3$ は $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]$ の冪零元なので、$2$ つのイデアル $(f),(h)$ について $(f)+(h)$ が全体であることは $3$ を法として確かめればよい（$(f)+(h)+(3)=(1)$ なら $1=u+3v$ $(u\in (f)+(h))$ となり、$u=1-3v$ は $(1-3v)(1+3v)=1-9v^2=1$ より単元）。よって中国剰余定理により
$$R\cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[x]/(x-1)\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[x]/(x+1)\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\times T,$$
ただし $T=(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]/(x^2+1)$（$|T|=81$）。

• $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }$ の位数は $\phi (9)=6$。
• $T$ は $T/3T\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_9$（体）であり、$3T$ は冪零なので $T$ は極大イデアル $3T$ をもつ局所環。$|3T|=|T|/|T/3T|=81/9=9$ だから $|T^{\times }|=81-9=72$。

積の環の単数群は各成分の単数群の直積なので
$$|R^{\times }|=6\cdot 6\cdot 72=2592.$$

方法2（検算）. $3R$ は冪零イデアルなので、$a\in R$ が単元であることと、その $R/3R$ での像が単元であることは同値である。また核 $1+3R$ はすべて単元。$R/3R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^4-1)\cong {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_9$ の単数群の位数は $2\cdot 2\cdot 8=32$。$|3R|=|R|/|R/3R|=6561/81=81$ なので、全射 $R^{\times }\to (R/3R{)}^{\times }$ の核 $1+3R$ の位数は $81$。よって $|R^{\times }|=32\cdot 81=2592$ となり一致する。

$R=(\mathbb{Z}/9)[x]/(x^4-1)$ とみなせる。イデアル $3R$ は $(3R{)}^2=0$ なのでべき零である。したがって $R$ の元が単数であることは、その $R/3R$ での像が単数であることと同値である。

$R/3R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^4-1)$ である。${\mathbb{F}}_3$ 上で $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ と分解する。$x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上既約で、$-1$ が 3 を法として平方非剰余だからである。これらは互いに素なので、中国剰余定理より $R/3R\cong {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_9$ となる。

この環の単数群の位数は $2\cdot 2\cdot 8=32$ である。

全射 $R\to R/3R$ の核 $3R$ の位数は $|R/3R|=81$ である。単数の像の逆像はすべて単数だから、$|R^{\times }|=32\cdot 81=2592$ となる。

検算: $|R|=6561$ であり、単数でない元は $R/3R$ の非単数 $81-32=49$ 個の逆像、つまり $49\cdot 81$ 個ある。単数は $6561-3969=2592$ 個となり、上の結果と一致する。