有限アーベル群の構造と部分群の個数

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $3$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の部分群のうち、位数が $6$ の巡回群であるものの個数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/16}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ および $K=L$ も数に含める）。

$\zeta =e^{2\pi i/60}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$d$ は $1$ でない平方因子をもたない整数とする。すなわち、$d\ne 1$ であり、どの素数 $p$ についても $p^2\nmid d$ である（$d$ は負でもよい）。$d<0$ のときは $\sqrt{d}=i\sqrt{-d}$ と定める。$\sqrt{d}\in L$ となるような $d$ をすべて求め、その集合を答えよ。

$60$ と互いに素な剰余類全体がなす乗法群を $G=(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}{)}^{\times }$ とする。$G$ の部分群のうち、位数がちょうど $4$ であるものの個数を求めよ。

加法群の直積 $G=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ を考える。$G$ の位数がちょうど $4$ である元の個数を $a$、$G$ の位数 $4$ の部分群の個数を $b$ とする。組 $(a,b)$ をこの順に求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/35}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）。

$S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ とし、$\zeta =e^{2\pi i/6}$ とする。巡回群 $\mathbb{Z}/6$ の生成元を $(z,w)\mapsto (\zeta z,\zeta w)$ として $S^3$ に作用させ、その商空間をレンズ空間 $L=S^3/(\mathbb{Z}/6)$ とする。さらに $X=S^1\times L$ とおく。

正の整数 $n$ に対し、$X$ の連結な $n$ 重被覆空間（全空間が連結で、各点の逆像がちょうど $n$ 点である被覆写像 $p:Y\to X$）の、被覆空間としての同型類の個数を $c_n$ とする。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ が同型であるとは、同相写像 $\varphi :Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ \varphi =p$ を満たすものが存在することとする（基点は考えない）。

$$\sum _{n=1}^{12}{c}_n$$
を求めよ。

$p$ を素数とし、$L/K$ を拡大次数 $[L:K]=p^2$ の有限次ガロア拡大とする。$K⊊M⊊L$ をみたす中間体 $M$ の個数を $N$ とする。

このとき、$N=1$ または $N=p+1$ であることを証明せよ。

ただし、ガロア理論の基本定理と、位数 $p^2$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ のいずれかに同型であることは用いてよい。

$q,k$ を正の整数とし、$G=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$ とする。法 $q$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\psi :G\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を用いて、$\gcd (n,q)=1$ のとき $\chi (n)=\psi (n\mathrm{mod}q)$、$\gcd (n,q)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めた関数 $\chi :\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ のことをいう。法 $q$ の単位指標（$\psi$ が自明な準同型であるもの）を ${\chi }_0$ と書き、指標の積は値ごとの積とする。

${\chi }^k={\chi }_0$ を満たす法 $q$ のディリクレ指標 $\chi$ 全体の集合を $X_k$ とし、
$$N_k=\#\{x\in G:x^k=1\}$$
とおく。このとき、$\gcd (a,q)=1$ を満たす任意の整数 $a$ に対して
$$\sum _{\chi \in X_k}\chi (a)=\{\begin{array}{ll}{N}_k& (\text{ある整数 }b\text{ で }a\equiv b^k(\mathrm{mod}q)\text{ となるとき}),\\ 0& (\text{そうでないとき})\end{array}$$
が成り立つことを証明せよ。特に $\#X_k=N_k$ である。

ただし、有限アーベル群 $H$ について次の 2 つの事実は用いてよい。
(i) 群準同型 $H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ 全体のなす群 $\hat{H}$ の位数は $|H|$ に等しい。
(ii) $h\in H$, $h\ne 1$ ならば、$\phi (h)\ne 1$ となる $\phi \in \hat{H}$ が存在する。