代数学の問題

$G$ の元を $(x,y)(x\in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z},y\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ と書く。$(x,y)$ の位数は $x$ の位数と $y$ の位数の最小公倍数である。

位数が $4$ を割り切る元. $4(x,y)=(0,0)$ となるのは $4x=0$（$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ で $x\in \{0,2,4,6\}$ の $4$ 個）かつ $4y=0$（すべての $y$、$4$ 個）のときなので、$4\times 4=16$ 個。

位数が $2$ を割り切る元. $2x=0$ となる $x$ は $\{0,4\}$ の $2$ 個、$2y=0$ となる $y$ は $\{0,2\}$ の $2$ 個なので、$2\times 2=4$ 個。

よって位数がちょうど $4$ の元は $a=16-4=12$ 個。

位数 $4$ の部分群. 位数 $4$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ かクラインの四元群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のどちらかと同型である。
- 巡回部分群: 位数 $4$ の巡回部分群 $1$ つには位数 $4$ の元（生成元）がちょうど $\phi (4)=2$ 個含まれ、位数 $4$ の元はそれが生成する巡回部分群にただ 1 つ属する。よって個数は $12/2=6$。
- クラインの四元群と同型な部分群: 単位元と位数 $2$ の元 $3$ 個からなる。$G$ の位数 $2$ の元は $(4,0),(0,2),(4,2)$ のちょうど $3$ 個であり、これらと単位元からなる集合 $\{(0,0),(4,0),(0,2),(4,2)\}$ は部分群になる。よってこの型の部分群はちょうど $1$ 個。

したがって $b=6+1=7$。

以上より $(a,b)=(12,7)$。

$4G$ 倍で消える元は $(\mathbb{Z}/8)[4]\times (\mathbb{Z}/4)[4]$ で $4\cdot 4=16$ 個、$2$ 倍で消える元は $2\cdot 2=4$ 個。位数ちょうど 4 の元は $16-4=12$ 個なので $a=12$。位数 4 の部分群は巡回群 ($\phi (4)=2$ 個の生成元をもつ) が $12/2=6$ 個、非巡回（クラインの 4 元群）は位数 2 の元 3 個全体で 1 個。よって $b=7$。答えは $(12,7)$。