代数学の問題

$S_n$ において 2 つの元が共役であることと、巡回置換の型（互いに素な巡回置換の積に分解したときの長さの分割）が一致することは同値である。また、型が $({\ell }_1,\dots ,{\ell }_r)$ の元の位数は $\mathrm{lcm}({\ell }_1,\dots ,{\ell }_r)$ である。

位数 6 の型の決定

$7$ の分割で、各部分の最小公倍数が $6$ になるものを求める。部分には $4,5,7$ は現れない（現れると最小公倍数が $4,5,7$ の倍数になる）。よって部分は $1,2,3,6$ のいずれかであり、$6$ を含むか、$2$ と $3$ を両方含む必要がある。
- $6$ を含む: $6+1$
- $6$ を含まず $2,3$ を含む: 残り $2$ を $1,2,3$ で分けると $3+2+1+1$, $3+2+2$（$3+3+\dots$ は和が $8$ 以上になり不可）

よって型は $(6,1)$, $(3,2,1,1)$, $(3,2,2)$ の $3$ つであり、$k=3$。

各共役類の大きさ

型が長さ $j$ の巡回置換を $m_j$ 個含む元の共役類の大きさは
$$\frac{n!}{{\prod }_j{j}^{m_j}{m}_j!}$$
である（分母は中心化群の位数）。$7!=5040$ より
- $(6,1)$: $\frac{5040}{6\cdot 1}=840$
- $(3,2,1,1)$: $\frac{5040}{3\cdot 2\cdot (1^2\cdot 2!)}=\frac{5040}{12}=420$
- $(3,2,2)$: $\frac{5040}{3\cdot (2^2\cdot 2!)}=\frac{5040}{24}=210$

したがって
$$N=840+420+210=1470.$$

以上より $(k,N)=(3,1470)$。

$S_7$ の元の位数は、巡回置換分解の各サイクル長の最小公倍数である。共役類は巡回置換型（7 の分割）で決まる。

最小公倍数が 6 となる 7 の分割を探す。使えるサイクル長は 1, 2, 3, 6 で、6 を含むか、2 と 3 の両方を含む必要がある。
- 6 を含む: $(6,1)$
- 6 を含まず 2 と 3 を含む: $(3,2,2)$（和 7）、$(3,2,1,1)$（和 7）。$(3,3,2)$ は和 8 で不可、$(3,2,2)$ 以外に 3 を 2 つ使うものは和が 7 を超えるか 2 を含まない。

よって $k=3$。

各類の元の個数（$7!=5040$）:
- $(6,1)$: $5040/(6\cdot 1)=840$
- $(3,2,2)$: $5040/(3\cdot 2^2\cdot 2!)=5040/24=210$
- $(3,2,1,1)$: $5040/(3\cdot 2\cdot 2!)=5040/12=420$

合計 $N=840+210+420=1470$。

検算: $(6,1)$ は 7 個から 1 個の固定点を選び（7 通り）、6 サイクルは $5!=120$ 通りなので $7\cdot 120=840$。$(3,2,2)$ は 3 サイクルの 3 点を $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)\cdot 2=70$ 通り、残り 4 点を 2 つの互換に分ける 3 通りで $210$。$(3,2,1,1)$ は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)\cdot 2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=35\cdot 2\cdot 6=420$。一致する。