代数学の問題

$S_6$ の偶置換の共役類. $S_6$ の共役類は巡回置換型で決まる。偶置換になる型と、その $S_6$ での共役類の大きさは次のとおり（大きさは $720/|C_{S_6}(\sigma )|$）。
- 単位元 $1^6$: $1$ 個
- $(2,2,1,1)$ 型: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}{2}=45$ 個
- $(3,1,1,1)$ 型: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 2=40$ 個
- $(3,3)$ 型: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 2\cdot 2}{2}=40$ 個
- $(4,2)$ 型: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)\cdot 3!\cdot 1=90$ 個
- $(5,1)$ 型: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)\cdot 4!=144$ 個

合計 $1+45+40+40+90+144=360=|A_6|$ となり、確かに偶置換全体を尽くしている。

$A_6$ での分裂の判定. $\sigma \in A_6$ の $S_6$ での共役類を $\mathcal{C}$ とする。$A_6$ での共役類の大きさは $|A_6|/|C_{A_6}(\sigma )|$ で、$C_{A_6}(\sigma )=C_{S_6}(\sigma )\cap A_6$ である。
- $C_{S_6}(\sigma )$ が奇置換を含むなら $|C_{A_6}(\sigma )|=|C_{S_6}(\sigma )|/2$ なので、$A_6$ での共役類の大きさは $\frac{360}{|C_{S_6}(\sigma )|/2}=|\mathcal{C}|$ となり、$\mathcal{C}$ はそのまま $A_6$ の $1$ つの共役類である。
- $C_{S_6}(\sigma )\subset A_6$ なら $A_6$ での共役類の大きさは $|\mathcal{C}|/2$ となり、$\mathcal{C}$ は大きさが等しい $2$ つの共役類に分かれる。

各型を調べる。
- $(2,2,1,1)$ 型 $(12)(34)$: 奇置換 $(12)$ と可換。分裂しない。
- $(3,1,1,1)$ 型 $(123)$: 奇置換 $(45)$ と可換。分裂しない。
- $(3,3)$ 型 $(123)(456)$: 奇置換 $(14)(25)(36)$ で共役をとると $(456)(123)$ となり自分自身に戻るので可換。分裂しない。
- $(4,2)$ 型 $(1234)(56)$: 奇置換 $(56)$ と可換。分裂しない。
- $(5,1)$ 型 $(12345)$: $|C_{S_6}(\sigma )|=720/144=5$ なので $C_{S_6}(\sigma )=⟨\sigma ⟩$ で、すべて偶置換。よって $72$ 個ずつの $2$ つの共役類に分かれる。

まとめ. $A_6$ の共役類の大きさは
$$1,45,40,40,90,72,72$$
の $7$ 個であり、最大は $90$ である。よって $(k,M)=(7,90)$。

$S_6$ の偶置換の巡回型は $1^6$（1 個）, $2^2{1}^2$（45 個）, $31^3$（40 個）, $3^2$（40 個）, $42$（90 個）, $51$（144 個）。計 $1+45+40+40+90+144=360$。$S_6$ の共役類のうち $A_6$ で分裂するのは、偶置換で巡回型の長さがすべて相異なる奇数であるものだけで、ここでは $51$ 型（長さ 5 と 1）が分裂して 72 個ずつの 2 類になる。他は分裂しない（$2^2{1}^2$, $42$ は偶数長を含み、$31^3$, $3^2$ は長さが重複）。よって共役類は $1,45,40,40,90,72,72$ の 7 個で $k=7$、最大の類の大きさは $M=90$。答えは $(7,90)$。