代数学の問題

1. $S_{10}$ の共役類と偶置換

$S_n$ の $2$ つの元が共役であることと、巡回置換分解の型（長さ $1$ の巡回も含めた $n$ の分割）が一致することは同値である。よって $S_{10}$ の共役類は $10$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、その個数は $p(10)=42$ である。

長さ $\ell$ の巡回置換は $\ell -1$ 個の互換の積なので、偶置換になるのは長さ $\ell -1$ が奇数のとき、つまり $\ell$ が偶数のときである。したがって、置換が偶置換であることと、偶数の長さの巡回が偶数個であることは同値である。$10$ の分割をすべて書き出して調べると、偶置換に対応する分割は次の $22$ 個である。
$$9+1,8+2,7+3,7+1^3,6+4,6+2+1^2,5+5,5+3+1^2,5+2^2+1,5+1^5,4^2+1^2,$$
$$4+3+2+1,4+2^3,4+2+1^4,3^3+1,3^2+2^2,3^2+1^4,3+2^2+1^3,3+1^7,2^4+1^2,2^2+1^6,1^{10}$$
（別の数え方として、偶の分割の個数は $\frac{p(n)+(\text{相異なる奇数への分割の個数})}{2}=\frac{42+2}{2}=22$ とも求まる。）

2. $S_{10}$ の共役類が $A_{10}$ で分裂する条件

偶置換 $\sigma$ の $S_n$ での共役類を $K$ とする。$K\subset A_n$ であり、$A_n$ は $K$ に共役で作用する。
$$|K|=\frac{|S_n|}{|C_{S_n}(\sigma )|},|\sigma \text{の}{A}_n\text{での共役類}|=\frac{|A_n|}{|C_{A_n}(\sigma )|}$$
であり、$C_{A_n}(\sigma )=C_{S_n}(\sigma )\cap A_n$ である。
- $C_{S_n}(\sigma )$ に奇置換が含まれるとき：$C_{A_n}(\sigma )$ は $C_{S_n}(\sigma )$ の指数 $2$ の部分群である。よって $A_n$ での共役類の大きさは $\frac{|S_n|/2}{|C_{S_n}(\sigma )|/2}=|K|$ となり、$K$ はそのまま $A_n$ の $1$ つの共役類になる。
- $C_{S_n}(\sigma )\subset A_n$ のとき：$A_n$ での共役類の大きさは $|K|/2$ となり、$K$ は大きさの等しい $2$ つの $A_n$ 共役類に分裂する。

次に、$C_{S_n}(\sigma )\subset A_n$ となる条件を調べる。
- $\sigma$ が偶数の長さの巡回 $c$ を含むとき：$c$ は $\sigma$ と可換な奇置換である。
- $\sigma$ が同じ奇数の長さ $m$ の巡回を $2$ つ含むとき：それらを $(a_1\cdots a_m)$、$(b_1\cdots b_m)$ とする。$\tau =(a_1{b}_1)(a_2{b}_2)\cdots (a_m{b}_m)$ は $\sigma$ と可換であり、$m$ 個の互換の積なので奇置換である。
- 巡回の長さがすべて相異なる奇数のとき：$\sigma$ と可換な置換は各巡回の台をそれぞれ保ち、各台の上で対応する巡回のべきに一致する。したがって $C_{S_n}(\sigma )$ は $\sigma$ の各巡回が生成する巡回群の直積であり、その元はすべて奇数の長さの巡回のべきの積なので偶置換である。

以上より、分裂するのは巡回の長さが相異なる奇数である型に限る。$n=10$ でこの条件をみたす分割は $9+1$ と $7+3$ の $2$ つである（$5+3+1=9$、$5+1=6$ などでは和が $10$ にならない）。

3. 結論

偶の型 $22$ 個のうち $2$ 個がそれぞれ $2$ つの共役類に分かれるので、$A_{10}$ の共役類の個数は
$$22+2=24$$
である。

$S_{10}$ の共役類は $10$ の分割（巡回置換型）に対応する。偶置換になるのは、$10-(\text{部分の個数})$ が偶数、すなわち分割の部分の個数が偶数のときである。

$10$ の分割のうち部分の個数が $k$ のものの数は、$k=1,\dots ,10$ に対して $1,5,8,9,7,5,3,2,1,1$（合計 $42$）。$k$ が偶数のものは $5+9+5+2+1=22$ 個である。

$S_n$ の偶置換の共役類 $C$ は、次の場合に限り $A_n$ で $2$ つに分裂する。巡回置換型が相異なる奇数の部分だけからなる場合である。それ以外は分裂しない。

$10$ を相異なる奇数の和で表す分割を数える。部分の個数は偶数でなければならない。$2$ 個なら $1+9$, $3+7$ の $2$ 通り（$5+5$ は相異なる部分でない）。$4$ 個なら最小でも $1+3+5+7=16>10$ で不可能。よって $2$ 個である。

したがって $A_{10}$ の共役類の個数は $22+2=24$。

検算として、既知の値 $A_5,\dots ,A_{10}$ の共役類の数 $5,7,9,14,18,24$ と一致する。