代数学の問題

基本方針. 位数 $n$ の巡回部分群 $H$ には位数 $n$ の元（$H$ の生成元）がちょうど $\phi (n)$ 個含まれ、位数 $n$ の元はそれが生成する巡回部分群ただ 1 つに属する。よって
$$(\text{位数 }n\text{ の巡回部分群の個数})=\frac{(\text{位数 }n\text{ の元の個数})}{\phi (n)}.$$
また、素数位数の群は巡回群なので、位数 $3$, $5$ の部分群はすべて巡回部分群である。

置換の位数は巡回置換分解に現れる長さの最小公倍数である。$5$ の分割 $5,4+1,3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1$ に対する位数はそれぞれ $5,4,6,3,2,2,1$ である。

位数 $3$. 位数 $3$ の元は $3$ 巡回置換のみで、その個数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\times 2=20$。$\phi (3)=2$ なので $p=20/2=10$。

位数 $4$. 位数 $4$ の元は $4$ 巡回置換のみで、その個数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\times 3!=5\times 6=30$。$\phi (4)=2$ なので $q=30/2=15$。

位数 $5$. 位数 $5$ の元は $5$ 巡回置換のみで、その個数は $4!=24$。$\phi (5)=4$ なので $r=24/4=6$。

（検算）$|S_5|=120=2^3\cdot 3\cdot 5$ であり、シローの定理より位数 $5$ の部分群の個数は $1+5k$ の形で $24$ を割り切る。$6$ はこれを満たす。同様に位数 $3$ の部分群の個数は $1+3k$ の形で $40$ を割り切り、$10$ はこれを満たす。

以上より $(p,q,r)=(10,15,6)$。

位数 3 の元は 3 サイクルで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot 2=20$ 個。各位数 3 の部分群は位数 3 の元を 2 個含むので $p=10$。位数 4 の元は 4 サイクルで $5\cdot 3!=30$ 個。位数 4 の巡回群は生成元 $\phi (4)=2$ 個をもつので $q=15$。位数 5 の元は 5 サイクルで $4!=24$ 個、各部分群は位数 5 の元を 4 個含むので $r=6$。答えは $(10,15,6)$。