合同式

$x,y$ はいずれも $1$ 以上 $10$ 以下の整数とする。$x^2+y^2$ が $5$ で割り切れるような整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。

$x,y$ はいずれも $1$ 以上 $10$ 以下の整数とする。$x^2+y^2$ が $5$ で割り切れるような整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。

$1\leqq n\leqq 50$ を満たす整数 $n$ のうち、$n^2+1$ が $5$ で割り切れるものは何個あるか求めよ。

方程式 $13x+8y=1001$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ は何組あるか。

方程式 $13x+8y=300$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ をすべて考える。それらのうち積 $xy$ が最大となるものについて、$xy$ の値を求めよ。

$1000$ 以下の正の整数 $n$ で、次の 3 つの合同式をすべてみたすものを考える。
$$n\equiv 3(\mathrm{mod}4),2n\equiv 5(\mathrm{mod}7),3n\equiv 2(\mathrm{mod}11)$$
このような $n$ すべての和を求めよ。

素数 $p=17$, $q=23$ を用いて RSA 暗号の鍵を作る。$n=pq=391$ とし、公開鍵の暗号化指数を $e=5$ とする。秘密鍵の復号指数 $d$ は、$ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1))$ を満たす $1\le d<(p-1)(q-1)$ の整数とする。

平文 $m$（$0\le m<n$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$, $0\le c<n$ により暗号化したところ、暗号文 $c=223$ が得られた。平文 $m$ を求めよ。

受信者は素数 $p=11$, $q=19$ を選び、$n=pq=209$ と暗号化指数 $e=7$ を公開鍵として公開した。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 208$ を満たす整数）を
$$c\equiv m^e(\mathrm{mod}n),0\le c\le 208$$
によって暗号化し、暗号文 $c=68$ を受信者に送った。

受信者は秘密鍵の復号指数 $d$ を $ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1))$, $1\le d\le (p-1)(q-1)-1$ を満たす整数として求め、$m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ により復号する。平文 $m$ を求めよ。

正の整数 $m$ に対して、$m$ を $4$ つの整数の平方の和として表す表し方の個数を
$$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$
とする（符号や順序が異なるものは別に数える）。テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ についてのヤコビの四平方定理
$$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$
は用いてよい。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$（三角数）とする。$0$ 以上の整数の順序のついた組 $(a,b,c,d)$ で
$$T_a+T_b+T_c+T_d=22$$
を満たすものの個数を求めよ。

$p$ を奇素数とする。$p$ と互いに素な整数 $b$ の $p$ を法とする位数とは、$b^m\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ をみたす最小の正の整数 $m$ のことであり、位数が $p-1$ である整数を $p$ を法とする原始根という。$g$ を $p$ を法とする原始根とする。

ディフィー・ヘルマン鍵共有では、秘密の 0 以上の整数 $a$ に対して $A=g^a$ を $p$ で割った余りが公開される。このとき、すべての 0 以上の整数 $a$ に対して
$${\left(g^a\right)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1{)}^a(\mathrm{mod}p)$$
が成り立つこと（したがって公開された値から秘密 $a$ の偶奇がわかること）を証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $p$ と互いに素な整数 $b$ の位数を $e$ とすると、0 以上の整数 $m$ について $b^m\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ となるのは $e\mid m$ のとき、かつそのときに限る
- 素数 $p$ が整数の積 $uv$ を割り切るならば、$p\mid u$ または $p\mid v$ である

$\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{C})$ とし、カルタン部分代数 $\mathfrak{h}$ を対角成分の和が $0$ の対角行列全体とする。${\epsilon }_i\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ $(i=1,2,3)$ を対角行列の第 $i$ 成分を取り出す線形形式とし、単純ルートを ${\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, ${\alpha }_2={\epsilon }_2-{\epsilon }_3$、正ルートを ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2$ とする。ルート ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ $(i\ne j)$ のコルートを $H_{ij}=E_{ii}-E_{jj}\in \mathfrak{h}$（$E_{ii}$ は行列単位）とし、基本ウェイト ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ を ${\omega }_i(H_{j,j+1})={\delta }_{ij}$ $(i,j\in \{1,2\})$ で定める。

非負整数 $a,b$ に対し、最高ウェイト $a{\omega }_1+b{\omega }_2$ をもつ $\mathfrak{g}$ の有限次元既約表現を $V(a,b)$ とする。

$\dim V(a,b)$ が $3$ で割り切れないための必要十分条件は、「$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$」または「$a\equiv b\equiv 1(\mathrm{mod}3)$」であることを証明せよ。

ただし、次のワイルの次元公式は証明なしに用いてよい: $\rho ={\omega }_1+{\omega }_2$ とし、正ルート $\alpha$ のコルートを $H_{\alpha }$ とすると、最高ウェイト $\lambda$ の有限次元既約表現の次元は
$$\dim V(\lambda )=\prod _{\alpha >0}\frac{(\lambda +\rho )(H_{\alpha })}{\rho (H_{\alpha })}$$
である（積は正ルート全体にわたる）。

英字 $26$ 文字を $\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1,\dots ,\mathrm{Z}=25$ と数に対応させる。整数の組 $(a,b)$ を鍵とするアフィン暗号
$$E(x)\equiv ax+b(\mathrm{mod}26)(0\le E(x)\le 25)$$
で 1 文字ずつ暗号化する。ただし $a,b$ は $0\le a\le 25,0\le b\le 25$ を満たす整数で、$\gcd (a,26)=1$ とする。

このような鍵 $(a,b)$ のうち、暗号化を 2 回続けて行うと必ず元の文字に戻る、すなわち $0\le x\le 25$ を満たすすべての整数 $x$ について
$$E(E(x))\equiv x(\mathrm{mod}26)$$
が成り立つ鍵（暗号化と復号が同じ写像になる鍵）は何個あるか。ただし $E$ が恒等写像になる鍵 $(a,b)=(1,0)$ も数に含める。

合成数 $n=143$ を法とする離散対数を考える。
$$2^x\equiv 19(\mathrm{mod}143)$$
を満たす最小の正の整数 $x$ を求めよ。

RSA 暗号の受信者は、相異なる素数 $p,q$ を選んで $n=pq$ とし、公開鍵 $(n,e)=(437,5)$ を公開した。秘密鍵の復号指数 $d$ は
$$ed\equiv 1(\mathrm{mod}\phi (n)),1\le d<\phi (n)$$
を満たす整数である。ここで $\phi (n)=(p-1)(q-1)$ である。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 436$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$（$0\le c\le 436$）によって暗号化して送る。

いま攻撃者は、$p,q$ そのものは知らないが、$\phi (n)=396$ であることを知った。さらに暗号文 $c=98$ を傍受した。この暗号文に対応する平文 $m$ を求めよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対して、テータ関数を
$$\theta (q)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$$
と定める。$0$ 以上の整数 $N$ に対して
$$\theta (q)\theta (q^2{)}^2\theta (q^4)=\sum _{N=0}^{\infty }R(N)q^N$$
と展開する。つまり $R(N)$ は、$x^2+2y^2+2z^2+4w^2=N$ を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数である。$R(2020)$ を求めよ。

なお、ヤコビの四平方定理（$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n$ を満たす整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数を $r_4(n)$ とすると、正の整数 $n$ に対して $r_4(n)=8{\sum }_{d\mid n,4\nmid d}d$）は証明なしに用いてよい。

正の整数 $n$ に対して、$3n+7$ と $5n+2$ の最小公倍数を $L$ とする。$n\leqq 200$ を満たす正の整数 $n$ のうち、
$$L=\frac{(3n+7)(5n+2)}{29}$$
が成り立つものすべての和を求めよ。

$1\leqq n\leqq 300$ を満たす整数 $n$ のうち、$n^2+n+1$ が $21$ で割り切れるものの個数を求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 100$ を満たす整数とする。$2^n-n^2$ が $7$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。

$0\leqq x\leqq 9999$ をみたす整数 $x$ のうち、
$$x^3\equiv x(\mathrm{mod}10000)$$
をみたすものの個数を求めよ。

素数 $p=23$ について、$g=5$ は法 $23$ の原始根である（$5$ の法 $23$ での位数は $22$）。

合同式
$$x^5\equiv 7(\mathrm{mod}23),1\le x\le 22$$
を満たす整数 $x$ はただ $1$ つ存在する。その $x$ を求めよ。

英字 $26$ 文字を $\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1,\dots ,\mathrm{Z}=25$ と数に対応させ、鍵 $(a,b)$ のアフィン暗号
$$E(x)\equiv ax+b(\mathrm{mod}26),0\le E(x)\le 25$$
で 1 文字ずつ暗号化する。ここで鍵は整数の組 $(a,b)$ で、$0\le a\le 25$、$0\le b\le 25$、$\gcd (a,26)=1$ を満たすものとする。

鍵 $(a,b)$ が次の 2 つの条件をともに満たすとき、「よい鍵」と呼ぶ。

• 条件 $(1)$: 暗号化を 2 回続けて行うと元に戻る。すなわち、$0\le x\le 25$ を満たすすべての整数 $x$ について $E(E(x))=x$ が成り立つ（暗号化と復号が同じ操作になる）。
• 条件 $(2)$: どの文字もそれ自身には暗号化されない。すなわち、$0\le x\le 25$ を満たすどの整数 $x$ についても $E(x)\ne x$ である。

よい鍵 $(a,b)$ の個数を求めよ。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。$\mathrm{rm}(x,y)$ を「$x$ を $y$ で割った余り」（$y\ge 1$）とし、ゲーデルの $\beta$ 関数を $$\beta (c,d,i)=\mathrm{rm}(c,1+(i+1)d)(c,d,i\in \mathbb{N})$$ で定める（$\beta$ は原始再帰関数である）。有限列 $(a_0,a_1,a_2)=(2,0,3)$ を、$s=\max \{3,a_0,a_1,a_2\}$ として $d=s!$ を用いて符号化する。すなわち $$\beta (c,d,0)=2,\beta (c,d,1)=0,\beta (c,d,2)=3$$ を満たす $c\in \mathbb{N}$ を考える。このような $c$ のうち最小のものを求めよ。

カタラン数 $C_0,C_1,C_2,\dots$ を
$$C_0=1,C_{n+1}=\sum _{i=0}^n{C}_i{C}_{n-i}(n\text{は 0 以上の整数})$$
で定める。0 以上の整数 $n$ について、$C_n$ が奇数であるための必要十分条件は、ある 0 以上の整数 $j$ を用いて $n=2^j-1$ と表されることであることを証明せよ（$2^0=1$ とし、$n=0$ は $j=0$ の場合にあたる）。

$p$ を奇素数、$g$ を $p$ を法とする原始根とする。$p$ と互いに素な整数 $c$ について、$y^2\equiv c(\mathrm{mod}p)$ をみたす整数 $y$ が存在するとき $c$ を $p$ を法とする平方剰余、存在しないとき平方非剰余という。

アリスとボブが群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 上でディフィー・ヘルマン鍵共有を行う。アリスは秘密の正の整数 $a$、ボブは秘密の正の整数 $b$ を選び、$A\equiv g^a(\mathrm{mod}p)$、$B\equiv g^b(\mathrm{mod}p)$ を公開し、共有鍵を $K\equiv g^{ab}(\mathrm{mod}p)$ とする。

このとき、「$K$ が $p$ を法とする平方非剰余であるための必要十分条件は、$A$ と $B$ がともに $p$ を法とする平方非剰余であることである」を証明せよ。ただし、原始根の定義（$g$ の位数が $p-1$ であり、$p$ と互いに素な任意の整数は $p$ を法としてある $g^t$（$0\le t\le p-2$）と合同になること）と、「$g^m\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ となる整数 $m\ge 0$ は $p-1$ の倍数に限る」ことは用いてよい。

$p$ を素数とし、${\mathbb{Z}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を $p$ を法とする剰余類全体とする。整数 $a,b$ は $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ かつ $a\not\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ をみたすとし、アフィン暗号の暗号化写像 $f:{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$ を
$$f(x)=ax+b(\mathrm{mod}p)$$
で定める。正の整数 $r$ に対して、$f$ を $r$ 回合成した写像を $f^{(r)}=\underset{r\text{個}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}$ と書く。

正の整数 $r$ について、「すべての $x\in {\mathbb{Z}}_p$ に対して $f^{(r)}(x)=x$ が成り立つ（すなわち、同じ鍵で $r$ 回暗号化すると必ず平文に戻る）」ための必要十分条件は $a^r\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ であること（とくにこの条件は $b$ によらないこと）を証明せよ。

ただし、$p$ が素数で $c\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ ならば、$cy\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ をみたす整数 $y$ は $y\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ に限ることは用いてよい。

$p,q$ を相異なる奇素数とし、$n=pq$、$\phi =(p-1)(q-1)$ とおく。正の整数 $e,d$ は $ed\equiv 1(\mathrm{mod}\phi )$ をみたすとする（RSA 暗号の公開鍵 $(n,e)$ と秘密鍵 $d$）。中国剰余定理を使った高速な復号（CRT-RSA）のために、次を定める。
- $d_p$ を $d$ を $p-1$ で割った余り、$d_q$ を $d$ を $q-1$ で割った余りとする（$0\le d_p\le p-2$、$0\le d_q\le q-2$）。
- 整数 $u$ を、$qu\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ をみたす整数のうちの 1 つとする（$p,q$ は相異なる素数なので、このような $u$ は存在する）。

$0\le c<n$ をみたす整数 $c$（暗号文）に対して、
- $m_p$ を $c^{d_p}$ を $p$ で割った余り、$m_q$ を $c^{d_q}$ を $q$ で割った余り（$0\le m_p\le p-1$、$0\le m_q\le q-1$）、
- $h$ を $u(m_p-m_q)$ を $p$ で割った余り（$0\le h\le p-1$）、
- $m=m_q+qh$

とおく。ここで $c$ は $n$ と互いに素であるとは限らない（$c=0$ や、$c$ が $p$ または $q$ の倍数である場合も含む）。また、整数 $a$ に対して $a^0=1$ と定める（$a=0$ のときも含む）。このとき、$0\le m<n$ かつ $m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ であることを証明せよ。

ただし、フェルマーの小定理と、「整数 $x$ が相異なる素数 $p,q$ のそれぞれで割り切れるならば $pq$ で割り切れる」ことは用いてよい。

方程式 $$6x+10y+15z=1000$$ を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ の個数を求めよ。

英字 $26$ 文字を $\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1,\dots ,\mathrm{Z}=25$ と数に対応させ、$\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}$ の元とみなす。正の整数 $m$ と鍵 $K=(k_0,k_1,\dots ,k_{m-1})\in (\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}{)}^m$ に対し、鍵の長さ $m$ のヴィジュネル暗号は、平文 $x_0{x}_1{x}_2\cdots$ を
$$y_j\equiv x_j+k_{j\mathrm{mod}m}(\mathrm{mod}26)(j=0,1,2,\dots )$$
で暗号文 $y_0{y}_1{y}_2\cdots$ に変換する（$j\mathrm{mod}m$ は $j$ を $m$ で割った余り）。鍵の成分はどれも $0$ から $25$ の任意の値をとってよいものとする。

いま、長さ $18$ の文字列全体の集合 $(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}{)}^{18}$ 上で、まず鍵の長さ $6$ の鍵 $K=(k_0,\dots ,k_5)$ でヴィジュネル暗号化し、その結果をさらに鍵の長さ $9$ の鍵 $L=(l_0,\dots ,l_8)$ でヴィジュネル暗号化する二重暗号化を考える。鍵の組 $(K,L)$ は全部で $26^{15}$ 通りある。

鍵の組 $(K,L)$ をすべて動かしたとき、この二重暗号化によって得られる $(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}{)}^{18}$ から $(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}{)}^{18}$ への写像は何通りあるか。答えは $26$ の累乗の形で答えよ。

$1729=7\cdot 13\cdot 19$ である。$x^2+x+1$ が $1729$ で割り切れるような正の整数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

正の整数 $n$ のうち、合同式
$$2^n\equiv n(\mathrm{mod}35)$$
をみたし、かつ $1\leqq n\leqq 420$ であるものすべての和を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。素イデアルは環全体と異なるものとし、零イデアルが素イデアルであればそれも数える（すなわち、素スペクトル $\mathrm{Spec}$ の元の個数を数える）。
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2-2,y^3-2)$$
とおく。
$$S=\{n\in \mathbb{Z}:\gcd (n,2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 31)=1\}$$
とおく。$S$ は $2,3,5,7,31$ のどれでも割り切れない整数全体であり、$\pm 1$ を含み、$0$ は含まない。$S$ は $\mathbb{Z}$ の積閉集合である。標準準同型 $\mathbb{Z}\to A$ による $S$ の像を $A$ の積閉集合とみなし、局所化 $R=S^{-1}A$ を考える。$R$ の素イデアルの個数を求めよ。

$2$ は $13$ を法とする原始根である。$13$ を法とするディリクレ指標 ${\chi }_a,{\chi }_b$ を
$${\chi }_a(2)=i,{\chi }_b(2)=e^{\pi i/6}$$
で定める（$i$ は虚数単位）。$13$ を法とするディリクレ指標 $\chi$ と整数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(13),\chi )$ を、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ であって、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\Gamma }_0(13)$ に対して
$$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\chi (d)(cz+d{)}^{k}f(z)$$
を満たし、すべてのカスプで正則かつ $0$ に消えるもの（指標 $\chi$ 付きの重さ $k$ のカスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間とする。ここで ${\Gamma }_0(13)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}13)\right\}$ である。

$$\left({\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_a),{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_b)\right)$$
をこの順に組で求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 2025$ を満たす整数とする。$2^n+n^3$ が $15$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。

$1\leqq n\leqq 1000$ を満たす整数 $n$ のうち、$3^n+n^2$ が $7$ で割り切れるものは何個あるか求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
$$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

アルファベット $\Sigma =\{0,1\}$ 上の言語 $L$ を次のように定める。

文字列 $w=c_1{c}_2\cdots c_n\in {\Sigma }^{\ast }$（$n\ge 0$）を 2 進数として読んだ値を $\mathrm{val}(w)={\sum }_{i=1}^n{c}_i{2}^{n-i}$ とする（先頭に $0$ が続いてもよく、空文字列 $\epsilon$ の値は $0$ とする）。このとき
$$L=\{w\in {\Sigma }^{\ast }\mid \mathrm{val}(w)\text{は}24\text{の倍数}\}$$
とする。$L$ を受理する完全な決定性有限オートマトン（DFA。すべての状態とすべての入力記号に対して遷移が定義されているもの）のうち、状態数が最小のものの状態数を求めよ。

ディフィー・ヘルマン鍵共有の公開パラメータとして、素数 $p=71$ と、法 $71$ の原始根 $g$ を選びたい。ここで整数 $g$ が法 $71$ の原始根であるとは、$g$ の法 $71$ における位数（$g^k\equiv 1(\mathrm{mod}71)$ を満たす最小の正の整数 $k$）が $70$ であることをいう。

$1\le g\le 70$ を満たす法 $71$ の原始根 $g$ のうち、最小のものを求めよ。

アルファベット $\Sigma =\{a,b,c\}$ 上の決定性有限オートマトン $M$ を考える。状態の集合は $\{p,q,r,s\}$、初期状態は $p$、受理状態は $p$ と $q$ の 2 つであり、遷移関数 $\delta$ は次の表で与えられる。

$n$ を正の整数とする。$M$ が受理する長さ $n$ の文字列の個数を $n$ の式で表せ。

英字 $26$ 文字を $\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1,\dots ,\mathrm{Z}=25$ と数に対応させ、鍵 $(a,b)$ のアフィン暗号
$$E_{a,b}(x)\equiv ax+b(\mathrm{mod}26)(x\in \{0,1,\dots ,25\})$$
で 1 文字ずつ暗号化する。鍵は、$1\le a\le 25$ かつ $\gcd (a,26)=1$ を満たす整数 $a$ と、$0\le b\le 25$ を満たす整数 $b$ の組 $(a,b)$ とする（全部で $12\times 26=312$ 通り）。

ある鍵 $(a,b)$ について、同じ鍵で 3 回続けて暗号化すると、どの文字ももとの文字に戻る、すなわち
$$E_{a,b}(E_{a,b}(E_{a,b}(x)))\equiv x(\mathrm{mod}26)(\text{すべての }x\in \{0,1,\dots ,25\})$$
が成り立つとする。このような鍵 $(a,b)$ の個数を求めよ（恒等写像になる鍵 $(1,0)$ も数える）。

$x,y,z$ はいずれも $1$ 以上 $100$ 以下の整数とする。$x^2+y^2+z^2$ が $7$ で割り切れるような整数の組 $(x,y,z)$ の個数を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、方程式 $$7x+11y=n$$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x,y)$ の個数を $f(n)$ とする。$f(n)=3$ となる $0$ 以上の整数 $n$ は有限個である。それらすべての和を求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 1000$ を満たす整数とする。$n^5-n$ が $1000$ で割り切れるような $n$ すべての和を求めよ。

$2^{12}$ 未満の正の整数 $N$ のうち、次の 2 つの条件をともに満たすものを考える。

• $N$ を $2$ 進法で表したとき、数字 $1$ がちょうど $4$ 個現れる。
• $N$ は $7$ で割り切れる。

このような $N$ すべての総和を求めよ。

$0$ 以上の整数 $x,y$ を用いて $7x+11y$ の形に表すことができない正の整数をすべて考える。それらすべての和を求めよ。

正十七角形の頂点に、時計回りに順に $1,2,3,\dots ,17$ の番号が付けられている。この $17$ 個の頂点から、どの $2$ つも隣り合わないように $4$ 個の頂点を選ぶ（頂点 $17$ と頂点 $1$ も隣り合っている）。選んだ $4$ 個の頂点の番号の和が $17$ で割り切れるような選び方は何通りあるか。

二項係数を次のように並べた数列を考え、図のように群に分ける。
$$1|1,1|1,2,1|1,3,3,1|1,4,6,4,1|1,\dots$$
すなわち、$m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $m$ 個の項
$${}_{m-1}{\mathrm{C}}_0,{}_{m-1}{\mathrm{C}}_1,\dots ,{}_{m-1}{\mathrm{C}}_{m-1}$$
をこの順に並べたものである。第 $1$ 群から第 $100$ 群までに含まれる項のうち、奇数であるものの個数を求めよ。