整数の性質の問題

方針

$5$ を法とする合同式を使います。$a\equiv b(\mathrm{mod}5)$ ならば $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}5)$、$a+1\equiv b+1(\mathrm{mod}5)$ が成り立ちます。そのため、$n^2+1$ を $5$ で割った余りは、$n$ を $5$ で割った余りだけで決まります。

手順 1：余りごとに $n^2+1$ を計算する

整数 $n$ は、$5$ で割った余りによって $n\equiv 0,1,2,3,4(\mathrm{mod}5)$ のどれかになります。それぞれについて計算します。

• $n\equiv 0$ のとき：$n^2+1\equiv 0^2+1=1(\mathrm{mod}5)$
• $n\equiv 1$ のとき：$n^2+1\equiv 1^2+1=2(\mathrm{mod}5)$
• $n\equiv 2$ のとき：$n^2+1\equiv 2^2+1=5\equiv 0(\mathrm{mod}5)$
• $n\equiv 3$ のとき：$n^2+1\equiv 3^2+1=10\equiv 0(\mathrm{mod}5)$
• $n\equiv 4$ のとき：$n^2+1\equiv 4^2+1=17\equiv 2(\mathrm{mod}5)$

よって、$n^2+1$ が $5$ で割り切れるのは、$n\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ または $n\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ のときに限られます。

手順 2：条件を満たす $n$ を数える

$1\leqq n\leqq 50$ の範囲で数えます。

• $n\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ を満たすのは $n=2,7,12,\dots ,47$ です。$n=5k+2(k=0,1,\dots ,9)$ と表せるので $10$ 個あります。
• $n\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ を満たすのは $n=3,8,13,\dots ,48$ です。$n=5k+3(k=0,1,\dots ,9)$ と表せるので $10$ 個あります。

この 2 つの場合は同時には起こらないので、和の法則より
$$10+10=20$$
となります。

答え $20$ 個

$n^2+1$ が 5 で割り切れる条件を、$n$ を 5 で割った余りで調べる。

• $n\equiv 0$ のとき $n^2+1\equiv 1$
• $n\equiv 1$ のとき $n^2+1\equiv 2$
• $n\equiv 2$ のとき $n^2+1\equiv 5\equiv 0$
• $n\equiv 3$ のとき $n^2+1\equiv 10\equiv 0$
• $n\equiv 4$ のとき $n^2+1\equiv 17\equiv 2$

よって、条件を満たすのは $n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$ のときである。

$1\leqq n\leqq 50$ には、5 で割った余りが 2 のものが 10 個、余りが 3 のものが 10 個ある。

合計は $10+10=20$ 個。

検算：$n=2$ のとき $5$、$n=3$ のとき $10$ で、どちらも 5 の倍数である。$n=7$ のとき $50$、$n=8$ のとき $65$ で、これらも 5 の倍数である。