整数の性質の問題

方針 $15=3\times 5$ で、$3$ と $5$ は互いに素である。したがって
$$n^2-1\text{が}15\text{で割り切れる}⟺n^2-1\text{が}3\text{でも}5\text{でも割り切れる}$$
が成り立つ。そこで、$3$ で割った余りと $5$ で割った余りの条件を別々に調べる。

$3$ で割った余りの条件 $n$ を $3$ で割った余りで分類すると
- $n\equiv 0$ のとき $n^2-1\equiv -1\equiv 2(\mathrm{mod}3)$
- $n\equiv 1$ のとき $n^2-1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$
- $n\equiv 2$ のとき $n^2-1\equiv 4-1=3\equiv 0(\mathrm{mod}3)$

よって条件は $n\equiv 1,2(\mathrm{mod}3)$ で、$2$ 通り。

$5$ で割った余りの条件 $n$ を $5$ で割った余りが $0,1,2,3,4$ のとき、$n^2$ を $5$ で割った余りは順に $0,1,4,4,1$ である。$n^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ となるのは $n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$ で、$2$ 通り。

余りの組を数える $n$ を $15$ で割った余り（$0$ から $14$ の $15$ 通り）と、「$3$ で割った余り」と「$5$ で割った余り」の組（$3\times 5=15$ 通り）は $1$ つずつ対応する。よって、条件を満たす $15$ で割った余りは、積の法則より
$$2\times 2=4\text{通り}$$
ある。実際に求めると $n\equiv 1,4,11,14(\mathrm{mod}15)$ であり、$1^2-1=0$, $4^2-1=15$, $11^2-1=120$, $14^2-1=195$ はいずれも $15$ で割り切れる。

個数を求める $150=15\times 10$ なので、$1$ から $150$ までには $15$ 個ずつのまとまりがちょうど $10$ 組あり、各まとまりに条件を満たす $n$ が $4$ 個ずつある。よって求める個数は
$$4\times 10=40$$

$n^2-1=(n-1)(n+1)$ が $15$ の倍数になる条件は、$3$ の倍数かつ $5$ の倍数であること。

$3$ は素数なので、$(n-1)(n+1)$ が $3$ の倍数になるのは $n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}3)$ のとき。
$5$ も素数なので、$(n-1)(n+1)$ が $5$ の倍数になるのは $n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)$ のとき。

$\mathrm{mod}15$ で考えると、$n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}3)$ は 3 通りのうち 2 通り、$n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)$ は 5 通りのうち 2 通りなので、中国剰余定理より $2\times 2=4$ 通りの剰余類がある。
具体的には $n\equiv 1,4,11,14(\mathrm{mod}15)$ である。

検算：$n=4$ のとき $15$、$n=11$ のとき $120$、$n=14$ のとき $195$。いずれも $15$ の倍数であり、条件を満たす。

$1\le n\le 150$ は $15$ 個ずつの組がちょうど $10$ 組なので、個数は $4\times 10=40$。