余りによる整数の分類

整数 $n$ を $5$ で割ると余りが $3$ である。このとき、$n^2$ を $5$ で割った余りを求めよ。

$n$ を整数とする。$n^2+n$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。

$n$ を整数とする。$n^2+1$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$5n+3$ と $3n+1$ の最大公約数を $d_n$ とする。$n=1,2,3,\dots ,100$ のときの $d_n$ の和
$$d_1+d_2+d_3+\cdots +d_{100}$$
を求めよ。

$1\leqq n\leqq 300$ を満たす整数 $n$ のうち、$n^2+n+1$ が $21$ で割り切れるものの個数を求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 100$ を満たす整数とする。$2^n-n^2$ が $7$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。

$0\leqq x\leqq 9999$ をみたす整数 $x$ のうち、
$$x^3\equiv x(\mathrm{mod}10000)$$
をみたすものの個数を求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 2025$ を満たす整数とする。$2^n+n^3$ が $15$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。

テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ に対して、ヤコビの四平方定理
$$\theta (q{)}^4=1+8\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{d\mid n,4\nmid d}d)q^n$$
は用いてよい（内側の和は $n$ の正の約数 $d$ のうち $4$ で割り切れないものについてとる）。

正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）で
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2028$$
を満たすものの個数を求めよ。

$|q|<1$ をみたす複素数 $q$ に対し、
$$\theta (q)=\sum _{x\in \mathbb{Z}}{q}^{x^2},\psi (q)=\sum _{x=0}^{\infty }{q}^{x(x+1)/2}$$
とおく。正の整数 $N$ に対し $r_4(N)$ を、$y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=N$ をみたす整数の組 $(y_1,y_2,y_3,y_4)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とし（符号や順序が異なる組は区別する）、$\sigma (N)$ を $N$ の正の約数の和とする。このとき $\theta (q{)}^4=1+{\sum }_{N\ge 1}{r}_4(N)q^N$ である。

次の事実（ヤコビの四平方定理）は用いてよい: すべての正の整数 $N$ に対して
$$r_4(N)=8\sum _{\begin{array}{c}d\mid N,d>0\\ 4\nmid d\end{array}}d.$$

このとき、$|q|<1$ において
$$\psi (q{)}^4=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma (2n+1)q^n$$
が成り立つこと、すなわち、すべての非負整数 $n$ について、$\frac{x_1(x_1+1)}{2}+\frac{x_2(x_2+1)}{2}+\frac{x_3(x_3+1)}{2}+\frac{x_4(x_4+1)}{2}=n$ をみたす非負整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数が $\sigma (2n+1)$ に等しいことを証明せよ。

$x,y,z$ はいずれも $1$ 以上 $100$ 以下の整数とする。$x^2+y^2+z^2$ が $7$ で割り切れるような整数の組 $(x,y,z)$ の個数を求めよ。

$n$ を $1\leqq n\leqq 1000$ を満たす整数とする。$n^5-n$ が $1000$ で割り切れるような $n$ すべての和を求めよ。