整数の性質の問題

手順1：$n$ を余りで表す

$n$ を $5$ で割ると余りが $3$ なので、ある整数 $k$ を用いて
$$n=5k+3$$
と表せる。

手順2：$n^2$ を計算する

$$n^2=(5k+3{)}^2=25k^2+30k+9$$

手順3：「$5\times (\text{整数})+(\text{余り})$」の形に変形する

$9=5+4$ と分けて、$5$ でくくれる部分をまとめる。
$$n^2=25k^2+30k+5+4=5(5k^2+6k+1)+4$$

$k$ は整数なので、$5k^2+6k+1$ も整数である。また、$4$ は $0$ 以上 $5$ 未満である。

手順4：余りを読み取る

したがって、$n^2$ を $5$ で割った余りは $4$ である。

（確認：$n=3$ のとき $n^2=9=5\cdot 1+4$、$n=8$ のとき $n^2=64=5\cdot 12+4$ となり、どちらも余りは $4$ である。）

$n=5k+3$（$k$ は整数）と表せる。$n^2=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4$ となるので、$n^2$ を $5$ で割った余りは $4$ である。
検算：$n=3$ のとき $n^2=9=5\times 1+4$ で余り $4$。$n=8$ のとき $n^2=64=5\times 12+4$ で余り $4$。