この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 整数の性質

$n$ を整数とする。 $n^{2} + n$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

余りによる整数の分類（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「余りによる整数の分類」を使います。 $n$ を $3$ で割った余りで分けて考えましょう。

ヒント 2

$k$ を整数として、 $n = 3 k, 3 k + 1, 3 k + 2$ の $3$ つの場合に分けます。それぞれ $n^{2} + n$ を展開し、 $3 \times (整数) + r$ の形に変形します。

ヒント 3

$n = 3 k$ のとき $n^{2} + n = 3 (3 k^{2} + k)$ 、 $n = 3 k + 1$ のとき $n^{2} + n = 9 k^{2} + 9 k + 2$ となります。 $n = 3 k + 2$ の場合も同じように計算してみましょう。

答えと解説

答えを見る

{0, 2}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

整数 $n$ を $3$ で割った余りは $0, 1, 2$ のいずれかです。そこで $k$ を整数として、 $n$ を次の $3$ つの場合に分けて調べます。

(i) $n = 3 k$ のとき
$n^{2} + n = (3 k)^{2} + 3 k = 9 k^{2} + 3 k = 3 (3 k^{2} + k)$
$3 k^{2} + k$ は整数なので、 $n^{2} + n$ は $3$ で割り切れます。余りは $0$ です。

(ii) $n = 3 k + 1$ のとき
$n^{2} + n = (3 k + 1)^{2} + (3 k + 1) = 9 k^{2} + 6 k + 1 + 3 k + 1 = 9 k^{2} + 9 k + 2 = 3 (3 k^{2} + 3 k) + 2$
$3 k^{2} + 3 k$ は整数なので、余りは $2$ です。

(iii) $n = 3 k + 2$ のとき
$n^{2} + n = (3 k + 2)^{2} + (3 k + 2) = 9 k^{2} + 12 k + 4 + 3 k + 2 = 9 k^{2} + 15 k + 6 = 3 (3 k^{2} + 5 k + 2)$
$3 k^{2} + 5 k + 2$ は整数なので、余りは $0$ です。

すべての整数 $n$ は (i)〜(iii) のどれかに当てはまります。したがって、 $n^{2} + n$ を $3$ で割った余りとして考えられる値は $0, 2$ です。

（確認： $n = 1$ のとき $n^{2} + n = 2$ で余りは $2$ 、 $n = 2$ のとき $n^{2} + n = 6$ で余りは $0$ となり、結果と合います。）

別解

$n$ を $3$ で割った余りで場合分けする。
- $n = 3 k$ のとき、 $n^{2} + n = 9 k^{2} + 3 k = 3 (3 k^{2} + k)$ なので余りは $0$ 。
- $n = 3 k + 1$ のとき、 $n^{2} + n = 9 k^{2} + 6 k + 1 + 3 k + 1 = 9 k^{2} + 9 k + 2$ なので余りは $2$ 。
- $n = 3 k + 2$ のとき、 $n^{2} + n = 9 k^{2} + 12 k + 4 + 3 k + 2 = 9 k^{2} + 15 k + 6 = 3 (3 k^{2} + 5 k + 2)$ なので余りは $0$ 。

検算： $n = 0, 1, 2, 3, 4$ で $n^{2} + n = 0, 2, 6, 12, 20$ 。余りは $0, 2, 0, 0, 2$ となり一致する。 $n$ が負の整数でも、余りは $n$ を $3$ で割った余りで決まるので同じである。

よって余りとして考えられる値は $0$ と $2$ 。

整数の性質の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題