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整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 整数の性質

$n$ を整数とする。 $n^{2} + 1$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

余りによる整数の分類（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「余りによる整数の分類」を使います。 $n$ を $3$ で割った余りで、 $n = 3 k, 3 k + 1, 3 k + 2$ （ $k$ は整数）の $3$ つの場合に分けて考えましょう。

ヒント 2

それぞれの場合に $n^{2} + 1$ を展開し、 $3 \times (整数) + r$ （ $r$ は $0, 1, 2$ のどれか）の形に変形すると、余り $r$ がわかります。

ヒント 3

$n = 3 k$ のとき $n^{2} + 1 = 3 \cdot 3 k^{2} + 1$ 、 $n = 3 k + 1$ のとき $n^{2} + 1 = 9 k^{2} + 6 k + 2 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 2$ です。残りの $n = 3 k + 2$ の場合も同じように計算してみましょう。

答えと解説

答えを見る

{1, 2}

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解説を読む

整数 $n$ を $3$ で割った余りは $0, 1, 2$ のいずれかである。そこで、 $k$ を整数として、 $n$ を次の $3$ つの場合に分けて調べる。

(i) $n = 3 k$ のとき
$n^{2} + 1 = (3 k)^{2} + 1 = 9 k^{2} + 1 = 3 \cdot 3 k^{2} + 1$
$3 k^{2}$ は整数なので、 $n^{2} + 1$ を $3$ で割った余りは $1$ である。

(ii) $n = 3 k + 1$ のとき
$n^{2} + 1 = (3 k + 1)^{2} + 1 = 9 k^{2} + 6 k + 2 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 2$
$3 k^{2} + 2 k$ は整数なので、余りは $2$ である。

(iii) $n = 3 k + 2$ のとき
$n^{2} + 1 = (3 k + 2)^{2} + 1 = 9 k^{2} + 12 k + 5 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 2$
$3 k^{2} + 4 k + 1$ は整数なので、余りは $2$ である。

すべての整数はこの $3$ つの場合のどれかに必ず入るので、 $n^{2} + 1$ を $3$ で割った余りとして考えられる値は $1, 2$ である。

(参考: $n = 0$ のとき $n^{2} + 1 = 1$ で余り $1$ 、 $n = 1$ のとき $n^{2} + 1 = 2$ で余り $2$ となり、どちらの値も実際に現れる。)

よって、答えは $1, 2$ である。

別解

整数 $n$ を $3$ で割った余りで場合分けする。
- $n = 3 k$ のとき、 $n^{2} + 1 = 9 k^{2} + 1$ なので余りは $1$ 。
- $n = 3 k + 1$ のとき、 $n^{2} + 1 = 9 k^{2} + 6 k + 2$ なので余りは $2$ 。
- $n = 3 k + 2$ のとき、 $n^{2} + 1 = 9 k^{2} + 12 k + 5 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 2$ なので余りは $2$ 。

よって余りは $1$ または $2$ である。余りが $0$ になることはない。
検算： $n = 0$ のとき $1$ 、 $n = 1$ のとき $2$ 、 $n = 2$ のとき $5$ で余り $2$ 、 $n = 3$ のとき $10$ で余り $1$ 。これらは上の結果と合う。

答え： $1, 2$

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