整数の性質の問題

2 つの正の整数 $a,b$ の最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とすると、次の関係が成り立つ。
$$ab=GL$$
これは、$a=G{a}^{\prime },b=G{b}^{\prime }$（$a^{\prime },b^{\prime }$ は互いに素な正の整数）と表すと $L=G{a}^{\prime }{b}^{\prime }$ となり、$ab=G^2{a}^{\prime }{b}^{\prime }=G\cdot G{a}^{\prime }{b}^{\prime }=GL$ となるからである。

$G=12,L=180,a=36$ を代入すると
$$36b=12\times 180=2160$$
よって
$$b=\frac{2160}{36}=60$$

【確認】素因数分解すると $36=2^2\cdot 3^2$、$60=2^2\cdot 3\cdot 5$ である。
最大公約数は共通な素因数を指数の小さい方でかけて $2^2\cdot 3=12$、
最小公倍数はすべての素因数を指数の大きい方でかけて $2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$ となり、条件を満たす。

したがって $b=60$ である。

最大公約数を $g=12$、最小公倍数を $l=180$ とすると、$ab=gl$ が成り立つ。よって $36b=12\times 180=2160$ より $b=60$。

検算：$36=2^2\cdot 3^2$、$60=2^2\cdot 3\cdot 5$ なので、最大公約数は $2^2\cdot 3=12$、最小公倍数は $2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$ となり、条件を満たす。