整数の性質の問題

最大公約数が $G=6$ なので、互いに素な正の整数 $a^{\prime },b^{\prime }$ $(a^{\prime }<b^{\prime })$ を用いて
$$a=6a^{\prime },b=6b^{\prime }$$
と表せる。

このとき最小公倍数は $L=6a^{\prime }{b}^{\prime }$ である。$L=72$ なので
$$6a^{\prime }{b}^{\prime }=72\text{より}{a}^{\prime }{b}^{\prime }=12$$

$a^{\prime }{b}^{\prime }=12$ かつ $a^{\prime }<b^{\prime }$ を満たす組は $(1,12),(2,6),(3,4)$ である。このうち $a^{\prime },b^{\prime }$ が互いに素であるものは $(1,12)$ と $(3,4)$ である。$(2,6)$ は公約数 $2$ をもつので除く。

それぞれの場合の $a,b$ は次のようになる。
- $(a^{\prime },b^{\prime })=(1,12)$ のとき $(a,b)=(6,72)$
- $(a^{\prime },b^{\prime })=(3,4)$ のとき $(a,b)=(18,24)$

$a,b$ はともに 2 けたの整数なので、$(a,b)=(18,24)$ である。

（確認）$18=2\cdot 3^2$、$24=2^3\cdot 3$ である。最大公約数は $2\cdot 3=6$、最小公倍数は $2^3\cdot 3^2=72$ となり、条件を満たす。

答え: $(a,b)=(18,24)$

$a=6m,b=6n$ とおく。$m,n$ は互いに素な正の整数で、$m<n$ である。
最大公約数と最小公倍数の関係より、最小公倍数は $6mn=72$ となるので $mn=12$ である。
互いに素で $m<n$ となる $(m,n)$ は $(1,12)$ と $(3,4)$ である。ただし $(2,6)$ は公約数 2 をもつので不適。
$(m,n)=(1,12)$ のとき $(a,b)=(6,72)$ で、$a=6$ は 1 けたなので不適。
$(m,n)=(3,4)$ のとき $(a,b)=(18,24)$ で、ともに 2 けたなので適する。
検算：$18=2\cdot 3^2,24=2^3\cdot 3$ より、最大公約数は $2\cdot 3=6$、最小公倍数は $2^3\cdot 3^2=72$ で条件を満たす。
よって $(a,b)=(18,24)$。