整数の性質の問題

$n=2^a\cdot 3^b$ の正の約数は $2^p\cdot 3^q(0\le p\le a,0\le q\le b)$ の形の数です。

約数の個数の条件

$p$ の選び方が $a+1$ 通り、$q$ の選び方が $b+1$ 通りなので、約数の個数は $(a+1)(b+1)$ 個です。よって
$$(a+1)(b+1)=12$$
です。$a,b$ は正の整数なので $a+1\ge 2,b+1\ge 2$ です。$12$ を $2$ 以上の整数 $2$ つの積で表すと
$$(a+1,b+1)=(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$
となります。したがって
$$(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$$
です。

約数の総和の条件

約数の総和は
$$(1+2+\cdots +2^a)(1+3+\cdots +3^b)=(2^{a+1}-1)\cdot \frac{3^{b+1}-1}{2}$$
です。各場合を計算します。

• $(a,b)=(1,5)$: $(1+2)(1+3+9+27+81+243)=3\cdot 364=1092$
• $(a,b)=(2,3)$: $(1+2+4)(1+3+9+27)=7\cdot 40=280$
• $(a,b)=(3,2)$: $(1+2+4+8)(1+3+9)=15\cdot 13=195$
• $(a,b)=(5,1)$: $(1+2+4+8+16+32)(1+3)=63\cdot 4=252$

総和が $280$ になるのは $(a,b)=(2,3)$ の場合だけです。

答え

$$n=2^2\cdot 3^3=4\cdot 27=108$$

$n=2^a{3}^b$ の約数の個数は $(a+1)(b+1)=12$、約数の総和は $(2^{a+1}-1)(3^{b+1}-1)/2=280$ より $(2^{a+1}-1)(3^{b+1}-1)=560$ である。$a,b\ge 1$ なので $a+1,b+1\ge 2$ であり、$(a+1,b+1)=(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$ を調べる。
- $(a,b)=(1,5)$: $3\cdot 728=2184$ で不適。
- $(a,b)=(2,3)$: $7\cdot 80=560$ で適する。
- $(a,b)=(3,2)$: $15\cdot 26=390$ で不適。
- $(a,b)=(5,1)$: $63\cdot 8=504$ で不適。

よって $a=2,b=3$、$n=4\cdot 27=108$。検算として、$108$ の約数の総和は $(1+2+4)(1+3+9+27)=7\cdot 40=280$、約数の個数は $3\cdot 4=12$ であり、条件を満たす。