約数の個数と総和

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を求めよ。答えは（個数, 総和）の順の組で答えよ。

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。

$a,b$ を正の整数とし、$n=2^a\cdot 3^b$ とする。$n$ の正の約数の個数が $12$ 個であり、正の約数の総和が $280$ であるとき、$n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ をオイラー関数、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。
$$S=\sum _{d\mid 360}\phi (d)\tau \left(\frac{360}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $360$ の正の約数 $d$ すべてにわたる。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。
$$T=\sum _{d\mid 720}\tau (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $720$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$p_i$ を $i$ 番目の素数とする（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$⟨a_0,a_1,\dots ,a_{k-1}⟩=\prod _{i=0}^{k-1}{p}_i^{a_i+1}$$
で定める（空列のゲーデル数は $1$ とする）。

関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$F(0)=1,F(1)=1,F(n+2)=F(n+1)+2F(n)(n\in \mathbb{N})$$
で定め、その累積値関数（course-of-values function）$\overline{F}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\overline{F}(n)=⟨F(0),F(1),\dots ,F(n-1)⟩$$
で定める。自然数 $\overline{F}(5)$ の正の約数の個数を求めよ。

正の整数 $m$ に対して、$m$ を $4$ つの整数の平方の和として表す表し方の個数を
$$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$
とする（符号や順序が異なるものは別に数える）。テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ についてのヤコビの四平方定理
$$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$
は用いてよい。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$（三角数）とする。$0$ 以上の整数の順序のついた組 $(a,b,c,d)$ で
$$T_a+T_b+T_c+T_d=22$$
を満たすものの個数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数 $$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$ はそれぞれ重さ $4,6,10$ のモジュラー形式である（$q=e^{2\pi i\tau }$）。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、$$\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$ の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。また、メビウス関数 $\mu$ を
$$\mu (m)=\{\begin{array}{ll}1& (m=1)\\ (-1{)}^k& (m\text{ が相異なる }k\text{ 個の素数の積})\\ 0& (m\text{ がある素数の }2\text{ 乗で割り切れる})\end{array}$$
で定める。

すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}\mu (d{)}^2\tau \left(\frac{n}{d}\right)=\tau (n^2)$$
が成り立つことを証明せよ。ここで和は $n$ の正の約数 $d$ 全体にわたる。

ただし、素因数分解の一意性と、$m=q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$（$q_i$ は相異なる素数、$f_i$ は正の整数）のとき $\tau (m)=(f_1+1)\cdots (f_s+1)$ であることは用いてよい。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対して、テータ関数を
$$\theta (q)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$$
と定める。$0$ 以上の整数 $N$ に対して
$$\theta (q)\theta (q^2{)}^2\theta (q^4)=\sum _{N=0}^{\infty }R(N)q^N$$
と展開する。つまり $R(N)$ は、$x^2+2y^2+2z^2+4w^2=N$ を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数である。$R(2020)$ を求めよ。

なお、ヤコビの四平方定理（$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n$ を満たす整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数を $r_4(n)$ とすると、正の整数 $n$ に対して $r_4(n)=8{\sum }_{d\mid n,4\nmid d}d$）は証明なしに用いてよい。

$a$, $b$ を正の整数とし、$n=2^a\cdot 3^b$ とする。$n$ の正の約数の個数は $12$ 個であり、$n$ の正の約数のうち偶数であるものの総和は $240$ である。$n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とする。$$n=8d(n)$$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

正の整数 $n$ に対して $\sigma (n)={\sum }_{d\mid n,d>0}d$ とし、$n$ が正の整数でないときは $\sigma (n)=0$ と定める。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、
$$\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2},E_2(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)q^n$$
とする。次の事実を用いてよい。

• $f(\tau )=\theta (\tau {)}^2\theta (2\tau {)}^2$ は ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
• ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、$E_2(\tau )-2E_2(2\tau )$, $E_2(\tau )-4E_2(4\tau )$, $E_2(\tau )-8E_2(8\tau )$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、$r(N)$ を
$$x^2+y^2+2z^2+2w^2=N$$
を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とする。$r(2024)$ を求めよ。

正の整数 $n$ について、$n$ の正の約数の個数は $6$ であり、$n$ の正の約数すべての逆数の和は $\frac{14}{9}$ である。このような $n$ を求めよ。

正の約数の個数が $6$ であり、正の約数の総和が $1274$ である正の整数 $n$ をすべて求めよ。

$n=360$ とする。
$$S=\sum _{\begin{array}{c}1\leqq k\leqq n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}\gcd (k-1,n)$$
の値を求めよ。ただし和は $1\leqq k\leqq 360$ かつ $360$ と互いに素な整数 $k$ すべてにわたってとり、$\gcd (0,n)=n$ とする。

テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ に対して、ヤコビの四平方定理
$$\theta (q{)}^4=1+8\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{d\mid n,4\nmid d}d)q^n$$
は用いてよい（内側の和は $n$ の正の約数 $d$ のうち $4$ で割り切れないものについてとる）。

正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）で
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2028$$
を満たすものの個数を求めよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ とし、$0$ 以上の整数 $N$ に対して $r_8(N)$ を $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=N$ を満たす $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数とする（$\theta (q{)}^8={\sum }_{N\ge 0}{r}_8(N)q^N$）。正の整数 $N$ に対してヤコビの八平方定理
$$r_8(N)=16\sum _{d\mid N,d>0}(-1{)}^{N+d}{d}^3$$
が成り立つことは用いてよい。このとき、
$$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_8^2=360$$
を満たし、$x_1,\dots ,x_8$ がすべて奇数であるような $(x_1,\dots ,x_8)\in {\mathbb{Z}}^8$ の個数を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を $$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$ で定める。$\Delta$ が重さ $12$ の正規化されたヘッケ固有カスプ形式であることは用いてよい。$72$ のすべての正の約数 $d$ にわたる和 $$\sum _{d\mid 72,d>0}\tau (d)$$ の値を求めよ。

$|q|<1$ をみたす複素数 $q$ に対し、
$$\theta (q)=\sum _{x\in \mathbb{Z}}{q}^{x^2},\psi (q)=\sum _{x=0}^{\infty }{q}^{x(x+1)/2}$$
とおく。正の整数 $N$ に対し $r_4(N)$ を、$y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=N$ をみたす整数の組 $(y_1,y_2,y_3,y_4)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とし（符号や順序が異なる組は区別する）、$\sigma (N)$ を $N$ の正の約数の和とする。このとき $\theta (q{)}^4=1+{\sum }_{N\ge 1}{r}_4(N)q^N$ である。

次の事実（ヤコビの四平方定理）は用いてよい: すべての正の整数 $N$ に対して
$$r_4(N)=8\sum _{\begin{array}{c}d\mid N,d>0\\ 4\nmid d\end{array}}d.$$

このとき、$|q|<1$ において
$$\psi (q{)}^4=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma (2n+1)q^n$$
が成り立つこと、すなわち、すべての非負整数 $n$ について、$\frac{x_1(x_1+1)}{2}+\frac{x_2(x_2+1)}{2}+\frac{x_3(x_3+1)}{2}+\frac{x_4(x_4+1)}{2}=n$ をみたす非負整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数が $\sigma (2n+1)$ に等しいことを証明せよ。

正の整数 $n$ のうち、$n^3$ の正の約数の個数が $n$ に等しいものをすべて求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ で表す。$$n=24d(n)$$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。