楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$∣ q ∣ < 1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $θ (q) = \sum_{n \in Z} q^{n^{2}}$ とし、 $0$ 以上の整数 $N$ に対して $r_{8} (N)$ を $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{8}^{2} = N$ を満たす $(x_{1}, \dots, x_{8}) \in Z^{8}$ の個数とする（ $θ (q)^{8} = \sum_{N \geq 0} r_{8} (N) q^{N}$ ）。正の整数 $N$ に対してヤコビの八平方定理
$r_{8} (N) = 16 d ∣ N, d > 0 \sum (- 1)^{N + d} d^{3}$
が成り立つことは用いてよい。このとき、
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{8}^{2} = 360$
を満たし、 $x_{1}, \dots, x_{8}$ がすべて奇数であるような $(x_{1}, \dots, x_{8}) \in Z^{8}$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

四平方定理と条件つきの平方和の個数（説明と入口の問題）
テータ関数と二平方和（説明と入口の問題）
アイゼンシュタイン級数の q 展開（説明と入口の問題）
約数の個数と総和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

すべて奇数である表し方の個数は $ψ (q) = \sum_{x 奇数} q^{x^{2}}$ の 8 乗の係数です。 $ψ$ をテータ関数 $θ (\pm q^{4})$ で表すことを考えましょう。

ヒント 2

ヤコビの恒等式 $θ_{3}^{4} = θ_{2}^{4} + θ_{4}^{4}$ から $ψ (q)^{4} = θ (q^{4})^{4} - θ (- q^{4})^{4}$ 、また $θ (Q) θ (- Q) = θ (- Q^{2})^{2}$ が成り立ちます。

ヒント 3

$Q = q^{4}$ として $ψ (q)^{8} = θ (Q)^{8} + θ (- Q)^{8} - 2 θ (- Q^{2})^{8}$ となるので、 $Q^{90}$ の係数は $r_{8} (90)$ と $r_{8} (45)$ で表せます。あとは八平方定理で $r_{8} (90), r_{8} (45)$ を計算しましょう。

答えと解説

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24417792

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解説を読む

奇数の平方の母関数. $ψ (q) = \sum_{x \in Z, x 奇数} q^{x^{2}}$ とおく。求める個数は $ψ (q)^{8}$ の $q^{360}$ の係数である。奇数 $x$ では $x^{2} \equiv 1 (mod 8)$ なので、 $ψ (q)^{8}$ に現れる指数はすべて $8$ の倍数である。

テータ関数の恒等式. 次の 2 つの古典的な恒等式を使う（ $Q = q^{4}$ ）。
- ヤコビの恒等式 $θ_{3}^{4} = θ_{2}^{4} + θ_{4}^{4}$ 。いまの記号では $θ_{3} = θ (Q), θ_{4} = θ (- Q), θ_{2} = \sum_{n \in Z} Q^{(n + 1/2)^{2}} = ψ (q)$ だから
$ψ (q)^{4} = θ (Q)^{4} - θ (- Q)^{4} . (1)$
（ $q^{4}$ の係数を比べると左辺 $2^{4} = 16$ 、右辺 $r_{4} (1) - (- r_{4} (1)) = 8 + 8 = 16$ で一致する。）
- $θ_{3} θ_{4} = θ_{4} (Q^{2})^{2}$ 、すなわち
$θ (Q) θ (- Q) = θ (- Q^{2})^{2} . (2)$

$(1)$ を 2 乗して $(2)$ を使うと
$ψ (q)^{8} = θ (Q)^{8} + θ (- Q)^{8} - 2 θ (Q)^{4} θ (- Q)^{4} = θ (Q)^{8} + θ (- Q)^{8} - 2 θ (- Q^{2})^{8} .$
$θ (- Q)^{8} = \sum_{N} (- 1)^{N} r_{8} (N) Q^{N}$ 、 $θ (- Q^{2})^{8} = \sum_{M} (- 1)^{M} r_{8} (M) Q^{2 M}$ だから、 $Q^{N}$ （ $N$ は偶数、 $N = 2 M$ ）の係数は
$2 r_{8} (N) - 2 (- 1)^{M} r_{8} (M) .$

代入. $q^{360} = Q^{90}$ なので $N = 90, M = 45$ （奇数）であり、求める個数は $2 r_{8} (90) + 2 r_{8} (45)$ 。

$σ_{3} (45) = σ_{3} (9) σ_{3} (5) = (1 + 27 + 729) (1 + 125) = 757 \cdot 126 = 95382$ 。
- $r_{8} (45)$ : $45$ の約数はすべて奇数で $(- 1)^{45 + d} = 1$ 。よって $r_{8} (45) = 16 \cdot 95382 = 1526112$ 。
- $r_{8} (90)$ : $90$ の奇数の約数は $45$ の約数 $d$ で符号は $- 1$ 、偶数の約数は $2 d$ （ $d ∣ 45$ ）で符号は $+ 1$ 。よって $\sum_{d ∣ 90} (- 1)^{90 + d} d^{3} = - 95382 + 8 \cdot 95382 = 7 \cdot 95382 = 667674$ 、 $r_{8} (90) = 16 \cdot 667674 = 10682784$ 。

したがって
$2 (10682784 + 1526112) = 2 \cdot 12208896 = 24417792.$

（検算: 同じ方法で $x_{1}^{2} + \dots + x_{8}^{2} = 40$ の場合を計算すると $2 r_{8} (10) + 2 r_{8} (5) = 2 \cdot 14112 + 2 \cdot 2016 = 32256$ 。直接数えると、奇数の平方 $1, 9, 25$ を 8 個使って和 $40$ にする並べ方は $9$ が 4 個の $(4 8) = 70$ 通りと $25, 9$ が 1 個ずつの $8 \cdot 7 = 56$ 通りで計 $126$ 、符号の付け方 $2^{8}$ を掛けて $32256$ と一致する。なお結果は $2^{8} σ_{3} (45)$ とも書ける。）

よって答えは $24417792$ 。

別解

奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余るので、 $8$ 個すべて奇数なら平方和は $8$ の倍数。 $360 = 8 \cdot 45$ 。
$B (q) = \sum_{n \in Z} q^{(2 n + 1)^{2}}$ とおくと、求める個数は $B (q)^{8}$ の $q^{360}$ の係数である。 $B (q) = θ_{2} (q^{4})$ （ $θ_{2} (q) = \sum q^{(n + 1/2)^{2}}$ の変形）なので $B^{8}$ はレベル 1 の重さ 4 の保型形式 $θ_{2}^{8}$ に対応し、ヤコビの八平方定理（ $θ^{8} = θ_{3}^{8}$ と、 $θ_{3}^{8} = θ_{2}^{8} + θ_{4}^{8}$ 型の関係・および $θ (q) = θ (q^{4}) + B (q)$ の分解）から
$B (q)^{8} = 256 m \geq 1 \sum c (m) q^{8 m}, c (m) = d ∣ m, m / d odd \sum d^{3}$
が得られる。実際に小さい $m$ で確かめる。
$m = 1$ : $N = 8$ は $x_{i} = \pm 1$ のみで $2^{8} = 256$ 個、 $c (1) = 1$ 。
$m = 2$ : $N = 16$ は $(\pm 3, \pm 1^{7})$ で $8 \cdot 2^{8}$ 個、 $c (2) = 8$ 。
$m = 3$ : $N = 24$ は平方が $9$ を 2 個と $1$ を 6 個で $(2 8) \cdot 2^{8}$ 個、 $c (3) = 1 + 27 = 28$ 。
$m = 4$ : $N = 32$ は ( $9$ が 3 個) $(3 8) = 56$ か ( $25$ が 1 個) $8$ の計 $64$ で $c (4) = 64$ 。いずれも式と一致する。
$m = 45$ は奇数なので、 $m / d$ は常に奇数で $c (45) = σ_{3} (45) = σ_{3} (9) σ_{3} (5) = (1 + 27 + 729) (1 + 125) = 757 \cdot 126 = 95382$ 。
求める個数は $256 \cdot 95382 = 24417792$ 。

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