楕円関数・モジュラー形式

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で $\mathbb{Z}$ 上生成される加法部分群）とする。整数 $k\ge 2$ に対して $$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$ とおき、不変量を $g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$ で定める。$\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの ℘ 関数 $$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$ の $z=0$ におけるローラン展開が $$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{5}{z}^2+\frac{1}{7}{z}^4+O(z^6)$$ であったとする。このとき、判別式 $g_2^3-27g_3^2$ の値を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とする。$f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ のモジュラー形式とする。すなわち $f$ は $\mathbb{H}$ 上正則で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対して $$f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{6}f(\tau )$$ を満たし、尖点 $i\infty$ でも正則であるとする。$f(2i)=3$ であるとき、$f\left(\frac{i}{2}\right)$ の値を求めよ（$i$ は虚数単位）。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $\theta (q)={\sum }_{m\in \mathbb{Z}}{q}^{m^2}$ とする。正の整数 $n$ に対し、$d_1(n)$, $d_3(n)$ をそれぞれ $n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るもの、$3$ 余るものの個数とすると、$$\theta (q{)}^2=1+4\sum _{n=1}^{\infty }(d_1(n)-d_3(n))q^n$$ が成り立つ。これを用いて、$x^2+y^2=450$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $m$ に対して ${\sigma }_m(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^m$ とする。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、偶数 $k\ge 4$ に対して正規化されたアイゼンシュタイン級数を $$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n$$ で定める。ここで $B_k$ はベルヌーイ数で、$B_4=-\frac{1}{30}$, $B_6=\frac{1}{42}$ である。積 $E_4(\tau )E_6(\tau )$ を $q$ のべき級数として展開したときの $q^2$ の係数を求めよ。

正の整数 $m$ に対して $$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$ とすると、ヤコビの四平方定理により $$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$ が成り立つ。これを用いて、$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=60$$ を満たす正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）の個数を求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。${\Gamma }_0(N)$ は ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\cup \{\infty \}$ に一次分数変換 $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ で作用し、この作用による軌道を ${\Gamma }_0(N)$ の尖点という。${\Gamma }_0(18)$ の尖点の個数を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $40$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_{40}=S_{40}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ とする。${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{40}$ を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。$q$ を形式的な変数とし、形式的べき級数
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n$$
を考える。これらはラマヌジャンの微分方程式
$$q\frac{d{E}_2}{dq}=\frac{E_2^2-E_4}{12}$$
を満たす。この等式を用いて、$E_2^2$ の $q^5$ の係数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
を考える。重さ $14$ の正則モジュラー形式の空間 $M_{14}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ が $1$ 次元であることを用いて、
$$\sum _{m=1}^3{\sigma }_3(m){\sigma }_9(4-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とし、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の尖点形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

${\Gamma }_0(N)$ の指数を $\mu =[{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}):{\Gamma }_0(N)]$、位数 $2$ の楕円点の個数を ${\nu }_2$、位数 $3$ の楕円点の個数を ${\nu }_3$、尖点の個数を ${\nu }_{\infty }$ とすると、モジュラー曲線 $X_0(N)$ の種数は
$$g=1+\frac{\mu }{12}-\frac{{\nu }_2}{4}-\frac{{\nu }_3}{3}-\frac{{\nu }_{\infty }}{2}$$
であり、偶数 $k\ge 4$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_k({\Gamma }_0(N))=(k-1)(g-1)+\left(\frac{k}{2}-1\right){\nu }_{\infty }+\lfloor \frac{k}{4}\rfloor {\nu }_2+\lfloor \frac{k}{3}\rfloor {\nu }_3$$
が成り立つ。これらを用いて ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_8({\Gamma }_0(7))$ を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、正の整数 $n$ に対してラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$ を
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\Delta$ は重さ $12$ のヘッケ固有形式であり、そのことから
$$\gcd (m,n)=1\text{のとき}\tau (mn)=\tau (m)\tau (n),\tau (p^{k+1})=\tau (p)\tau (p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})(p\text{は素数},k\ge 1)$$
が成り立つ。$\tau (2)=-24$, $\tau (3)=252$ であることを用いて、$\tau (12)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とする。アイゼンシュタイン級数と判別式を
$$E_4=1+240\sum _{n\ge 1}{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n\ge 1}{\sigma }_5(n)q^n,\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}$$
で定めると、$E_4^3-E_6^2=1728\Delta$ が成り立つ。関数
$$f(\tau )=\frac{E_6(\tau {)}^2}{\Delta (\tau )}$$
を $q$ のローラン級数 $f={\sum }_{n\ge -1}{c}_n{q}^n$ で表したとき、定数項 $c_0$ を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=q^{-1}+744+\sum _{n\ge 1}{c}_n{q}^n,c_1=196884,c_2=21493760,\dots$$
と展開される（$c_n$ は正の整数）。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数は $1$ であり、虚数乗法の理論により ${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ に対して $j({\tau }_0)$ は整数になる。

$e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7777\cdots$ であることを用いて、整数 $j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、正の整数 $n$ と整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。アイゼンシュタイン級数を
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
で定め、判別式 $\Delta$ とラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$ を
$$\Delta =\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\tau (2)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数の $q$ 展開
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_8=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_7(n)q^n$$
を用いる。重さ $8$ の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関するモジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^5{\sigma }_3(m){\sigma }_3(6-m)$$
の値を求めよ。

$q$ を $|q|<1$ を満たす複素数とし、テータ関数を $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ とする。正の整数 $n$ に対して、$n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るものの個数を $d_1(n)$、$4$ で割って $3$ 余るものの個数を $d_3(n)$ とすると、ヤコビの二平方定理
$$\theta (q{)}^2=1+4\sum _{n=1}^{\infty }(d_1(n)-d_3(n))q^n$$
が成り立つ。

これを用いて、$x^2+y^2=5850$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数を求めよ。ただし、符号や順序が異なる組は別のものとして数える。

上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi iz}$（$z\in \mathbb{H}$）とし、判別式
$$\Delta (z)=q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
によりラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を定める。$\Delta$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $12$ の尖点形式であり、重さ $12$ の尖点形式の空間は $1$ 次元であることを用いてよい。$\tau (24)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $m$ に対して、$m$ を $4$ つの整数の平方の和として表す表し方の個数を
$$r_4(m)=\#\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{Z}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m\}$$
とする（符号や順序が異なるものは別に数える）。テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ についてのヤコビの四平方定理
$$r_4(m)=8\sum _{d\mid m,d>0,4\nmid d}d$$
は用いてよい。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$（三角数）とする。$0$ 以上の整数の順序のついた組 $(a,b,c,d)$ で
$$T_a+T_b+T_c+T_d=22$$
を満たすものの個数を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて $$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n(c_n\in \mathbb{Z},c_1=196884)$$ と展開される。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$（$\sqrt{-67}=i\sqrt{67}$）とする。虚数乗法の理論により、判別式 $-67$ の虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-67})$ の類数が $1$ であることから $j({\tau }_0)$ は整数であり、実際 $$j({\tau }_0)=-5280^3$$ であることが知られている。また $\tau ={\tau }_0$ のとき $$\left|\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{q}^n\right|<\frac{1}{10}$$ が成り立つことも用いてよい。実数 $e^{\pi \sqrt{67}}$ に最も近い整数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数 $$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$ はそれぞれ重さ $4,6,10$ のモジュラー形式である（$q=e^{2\pi i\tau }$）。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、$$\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と非負整数 $k$ に対し ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とおく。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、
$$E_4(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}(\tau )=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $E_4,E_{10},E_{14}$ はそれぞれ $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,10,14$ の正則モジュラー形式である。
• 重さ $k$ と重さ $l$ の正則モジュラー形式の積は重さ $k+l$ の正則モジュラー形式である。
• $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $14$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間 $M_{14}$ は $1$ 次元である。
• $|q|<1$ で絶対収束する $q$ の冪級数で表される関数について、2 つの表示が一致すれば各係数も一致する（冪級数展開の一意性）。

このとき、すべての正の整数 $n$ に対して、整数
$${\sigma }_{13}(n)-11{\sigma }_9(n)+10{\sigma }_3(n)$$
は $2640$ で割り切れることを証明せよ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、$\wp (z)=\wp (z;\Lambda )$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
とする。不変量を $g_2=60{\sum }_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}{\omega }^{-4}$, $g_3=140{\sum }_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}{\omega }^{-6}$ と定めると、$\wp$ は微分方程式
$${\wp }^{\prime }(z{)}^2=4\wp (z{)}^3-g_2\wp (z)-g_3$$
を満たす。いま、$\Lambda$ の不変量が $g_2=4$, $g_3=8$ であり、点 $z_0\in \mathbb{C}\setminus \Lambda$ が $\wp (z_0)=2$, ${\wp }^{\prime }(z_0)=4$ を満たすとする。このとき $\wp (2z_0)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n(c(n)\in \mathbb{Z},c(1)=196884)$$
と $q$ 展開される（$j(i)=1728$ と正規化されたもの）。

${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ とする（$\sqrt{-19}=\sqrt{19}i$）。${\tau }_0$ は虚数乗法をもつ点であり、虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数が $1$ であることから、虚数乗法の理論により $j({\tau }_0)$ は有理整数であることが知られている。このことと、次の 2 つの事実を用いてよい。

• $e^{\pi \sqrt{19}}=885479.7776\cdots$
• $\tau ={\tau }_0$ に対応する $q$ について $\left|\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n\right|<\frac{1}{2}$

このとき、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とし、
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
とおく。$E_4,E_6$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6$ の正則モジュラー形式であり、$E_2$ はモジュラー形式ではない。$D=q\frac{d}{dq}=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau }$ とし、重さ $k$ の正則モジュラー形式 $f$ に対して ${\vartheta }_{k}f=Df-\frac{k}{12}{E}_{2}f$ は重さ $k+2$ の正則モジュラー形式になること（セールの微分）、および ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上の線形空間は $1$ 次元であることを用いてよい。

このとき
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_1(m){\sigma }_3(12-m)$$
の値を求めよ。

$|q|<1$ を満たす複素数 $q$ に対して、テータ関数を
$$\theta (q)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$$
と定める。$0$ 以上の整数 $N$ に対して
$$\theta (q)\theta (q^2{)}^2\theta (q^4)=\sum _{N=0}^{\infty }R(N)q^N$$
と展開する。つまり $R(N)$ は、$x^2+2y^2+2z^2+4w^2=N$ を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数である。$R(2020)$ を求めよ。

なお、ヤコビの四平方定理（$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n$ を満たす整数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の個数を $r_4(n)$ とすると、正の整数 $n$ に対して $r_4(n)=8{\sum }_{d\mid n,4\nmid d}d$）は証明なしに用いてよい。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を階数 $2$ の格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な $2$ つの複素数で $\mathbb{Z}$ 上生成される離散部分群）とし、$\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数を
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
で定める。また整数 $k\ge 2$ に対して、アイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
とおく（この級数は絶対収束する）。この格子 $\Lambda$ について、$\wp$ が微分方程式
$$({\wp }^{\prime }(z){)}^2=4\wp (z{)}^3-28\wp (z)-24$$
を満たすとする。このとき $G_{10}$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}:\mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j$ は、$q=e^{2\pi i\tau }$ として
$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+\sum _{n=1}^{\infty }c(n)q^n,c(1)=196884,c(2)=21493760,\dots$$
と展開され、係数 $c(n)$ はすべて正の整数で $c(n)\le e^{4\pi \sqrt{n}}$ を満たす。${\tau }_0=\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$ とする。虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$ の類数が $1$ であること、および $e^{\pi \sqrt{43}}=884736743.99977746\cdots$ を用いて、$j({\tau }_0)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。$q$ を形式的な変数とし、形式的べき級数
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n$$
を考える。これらはラマヌジャンの微分方程式
$$q\frac{d{E}_2}{dq}=\frac{E_2^2-E_4}{12}$$
をみたす（この事実は証明なしに用いてよい）。このとき
$$S=\sum _{m=1}^{19}{\sigma }_1(m){\sigma }_1(20-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。${\Gamma }_0(13)$ に関する重さ $6$ の正則な尖点形式（カスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間 $S_6({\Gamma }_0(13))$ の次元を求めよ。ただし、指標（ネベンタイプ）は自明なものとする。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6,10$ の正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi iz}$（$z$ は上半平面の点）を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と展開される。モジュラー形式の理論を用いて、
$$T=\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上の楕円モジュラー関数 $j(\tau )$ を、格子 ${\Lambda }_{\tau }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ の不変量 $g_2,g_3$ を用いて
$$j(\tau )=1728\cdot \frac{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3}{g_2({\Lambda }_{\tau }{)}^3-27g_3({\Lambda }_{\tau }{)}^2}$$
で定める（したがって $j(i)=1728$ である）。また、$\mathbb{C}$ 上の楕円曲線 $y^2=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$ の $j$ 不変量は、対応する格子 $\Lambda$（$E(\mathbb{C})\cong \mathbb{C}/\Lambda$）について $1728g_2^3/(g_2^3-27g_3^2)$ に等しい。

楕円曲線 $E:y^2=x^3-x$ を用いて、$j(2i)$ の値を求めよ。

整数 $k$ に対し、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_k=S_k({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ とする。$$N=\sum _{j=1}^{30}{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{2j}=\dim S_2+\dim S_4+\cdots +\dim S_{60}$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $\sigma (n)={\sum }_{d\mid n,d>0}d$ とし、$n$ が正の整数でないときは $\sigma (n)=0$ と定める。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、
$$\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2},E_2(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)q^n$$
とする。次の事実を用いてよい。

• $f(\tau )=\theta (\tau {)}^2\theta (2\tau {)}^2$ は ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
• ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、$E_2(\tau )-2E_2(2\tau )$, $E_2(\tau )-4E_2(4\tau )$, $E_2(\tau )-8E_2(8\tau )$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、$r(N)$ を
$$x^2+y^2+2z^2+2w^2=N$$
を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とする。$r(2024)$ を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、主合同部分群
$$\Gamma (7)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)(\mathrm{mod}7)\right\}$$
を考える。整数 $k$ に対し、$\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma (7)$ について
$$f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )(\tau \in \mathbb{H})$$
を満たし、$\Gamma (7)$ のすべてのカスプで正則かつ $0$ になるものを、$\Gamma (7)$ に関する重さ $k$ の尖点形式とよび、その全体のなす複素ベクトル空間を $S_k(\Gamma (7))$ とする。

重さが奇数 $k=3$ のときの次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_3(\Gamma (7))$ を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
により定める。素因数として $2$ と $3$ 以外をもたない正の整数全体の集合を
$$S=\{2^a{3}^b\mid a,b\text{ は }0\text{ 以上の整数}\}$$
とする（$1\in S$ である）。このとき、級数
$$\sum _{n\in S}\frac{\tau (n)}{n^{12}}$$
は絶対収束する。その値を既約分数で求めよ。

$2$ は $13$ を法とする原始根である。$13$ を法とするディリクレ指標 ${\chi }_a,{\chi }_b$ を
$${\chi }_a(2)=i,{\chi }_b(2)=e^{\pi i/6}$$
で定める（$i$ は虚数単位）。$13$ を法とするディリクレ指標 $\chi$ と整数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(13),\chi )$ を、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ であって、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\Gamma }_0(13)$ に対して
$$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\chi (d)(cz+d{)}^{k}f(z)$$
を満たし、すべてのカスプで正則かつ $0$ に消えるもの（指標 $\chi$ 付きの重さ $k$ のカスプ形式）全体のなす複素ベクトル空間とする。ここで ${\Gamma }_0(13)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}13)\right\}$ である。

$$\left({\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_a),{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{11}({\Gamma }_0(13),{\chi }_b)\right)$$
をこの順に組で求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\Delta$ はレベル $1$、重さ $12$ の正規化されたカスプ形式であり、ヘッケ作用素の同時固有形式である。このことから従う $\tau$ の性質（$\gcd (m,n)=1$ なら $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$、素数 $p$ と整数 $k\ge 1$ に対して $\tau (p^{k+1})=\tau (p)\tau (p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})$）は用いてよい。

$S$ を、$a,b$ を $0$ 以上の整数として $n=2^a{3}^b$ と表される正の整数 $n$ 全体の集合とする。級数
$$\sum _{n\in S}\frac{\tau (n)}{n^{12}}$$
は絶対収束する。その値を既約分数で求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$（$k\ge 4$ は偶数）の正規化されたアイゼンシュタイン級数を
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n,q=e^{2\pi i\tau }$$
とする。ここで $B_k$ はベルヌーイ数で、$B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_{10}=\frac{5}{66}$ である。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $10$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることは用いてよい。

$$\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

テータ関数 $\theta (q)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2}$ に対して、ヤコビの四平方定理
$$\theta (q{)}^4=1+8\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{d\mid n,4\nmid d}d)q^n$$
は用いてよい（内側の和は $n$ の正の約数 $d$ のうち $4$ で割り切れないものについてとる）。

正の奇数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$（順序を区別する）で
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2028$$
を満たすものの個数を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
を考える。$E_k$ は重さ $k$ のモジュラー形式であり、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式の空間の次元についての既知の結果は用いてよい。

$p$ を素数とするとき、
$$S(p)=\sum _{m=1}^{p-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(p-m)$$
を $p$ の式で表せ。

$\Lambda \subset \mathbb{C}$ を格子（$\mathbb{R}$ 上一次独立な 2 つの複素数で生成される加法部分群）とし、$\wp (z)=\wp (z;\Lambda )$ を $\Lambda$ に関するワイエルシュトラスの $\wp$ 関数
$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right)$$
とする。$\Lambda$ の 0 でない半周期（$\frac{1}{2}\Lambda$ の元で $\Lambda$ に属さないもの）を $\Lambda$ を法として代表する 3 点 $u_1,u_2,u_3$ における値が
$$\wp (u_1)=1,\wp (u_2)=2,\wp (u_3)=-3$$
であるとする。整数 $k\ge 2$ に対してアイゼンシュタイン級数を
$$G_{2k}(\Lambda )=\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\frac{1}{{\omega }^{2k}}$$
で定める（絶対収束する）。$G_{12}(\Lambda )$ の値を求めよ。

上半平面の点 $\tau$ に対して、格子 ${\Lambda }_{\tau }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ の不変量を $g_2(\tau )=60{\sum }_{\omega \in {\Lambda }_{\tau }\setminus \{0\}}{\omega }^{-4}$, $g_3(\tau )=140{\sum }_{\omega \in {\Lambda }_{\tau }\setminus \{0\}}{\omega }^{-6}$ とし、$j$ 関数を
$$j(\tau )=1728\frac{g_2(\tau {)}^3}{g_2(\tau {)}^3-27g_3(\tau {)}^2}$$
で定める。$j(i)=1728$ であることは用いてよい。

$j(4i)$ は $a+b\sqrt{2}$（$a,b$ は整数）の形に表される。この値を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。