楕円関数・モジュラー形式の問題

個数と係数の関係 $\theta (q{)}^2={\sum }_{x\in \mathbb{Z}}{\sum }_{y\in \mathbb{Z}}{q}^{x^2+y^2}$ なので、$q^n$ の係数は $x^2+y^2=n$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数 $r_2(n)$ に等しい。したがってヤコビの二平方定理より
$$r_2(n)=4(d_1(n)-d_3(n)).$$

$d_1-d_3$ の計算 $\chi (d)$ を、$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき $1$、$d\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき $-1$、$d$ が偶数のとき $0$ と定めると、$d_1(n)-d_3(n)={\sum }_{d\mid n}\chi (d)$ である。$\chi$ は完全乗法的なので、この和は $n$ について乗法的になり、素因数分解ごとに計算できる。

$5850=2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 13$ である。各素因数のべきについて
- $2$：$\chi (1)+\chi (2)=1+0=1$
- $3^2$：$\chi (1)+\chi (3)+\chi (9)=1-1+1=1$
- $5^2$：$5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので $\chi (1)+\chi (5)+\chi (25)=1+1+1=3$
- $13$：$13\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので $\chi (1)+\chi (13)=2$

よって $d_1(5850)-d_3(5850)=1\cdot 1\cdot 3\cdot 2=6$ であり、
$$r_2(5850)=4\cdot 6=24.$$

確認 実際、$5850=75^2+15^2=69^2+33^2=51^2+57^2$ と、正の整数の組（順序を考えない）として $3$ 通りに表せる。どれも $x\ne y$ かつ $x,y\ne 0$ なので、符号と順序で各 $8$ 通りずつあり、$3\times 8=24$ 個となって一致する。

ヤコビの二平方定理より、求める個数は $r_2(5850)=[q^{5850}]\theta (q{)}^2=4(d_1(5850)-d_3(5850))$ である。

$5850=2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 13$。

約数のうち偶数のものは 4 で割って 1 余らず 3 余らないので、$d_1,d_3$ は奇数の約数だけで決まる。奇数部分は $2925=3^2\cdot 5^2\cdot 13$。

関数 $\chi (d)$ を $d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき $1$、$d\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき $-1$、偶数のとき $0$ とすると $\chi$ は完全乗法的で、$d_1(n)-d_3(n)={\sum }_{d\mid n}\chi (d)$ は乗法的。素数冪ごとに計算する。

• $3^2$: $\chi (1)+\chi (3)+\chi (9)=1-1+1=1$
• $5^2$: $1+1+1=3$
• $13$: $1+1=2$
• $2$: $\chi (1)+\chi (2)=1$

よって $d_1(5850)-d_3(5850)=1\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6$。

個数は $4\cdot 6=24$。

検算: $5850=2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 13$ で、$(x,y)$ はともに $3$ の倍数で $x=3x^{\prime },y=3y^{\prime }$ のとき $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=650=2\cdot 5^2\cdot 13$ となり、$r_2(650)=4\cdot 3\cdot 2=24$。一致する。実際に $650=1^2+25^2=5^2+25^2\cdot$ ではなく $650=5^2+25^2=11^2+23^2=17^2+19^2$ で、各 $(a,b)$ ($a\ne b$, 正) は符号と順序で 8 通り、$3$ 組で 24 通り。