楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$∣ q ∣ < 1$ を満たす複素数 $q$ に対して、テータ関数を
$θ (q) = n \in Z \sum q^{n^{2}}$
と定める。 $0$ 以上の整数 $N$ に対して
$θ (q) θ (q^{2})^{2} θ (q^{4}) = N = 0 \sum \infty R (N) q^{N}$
と展開する。つまり $R (N)$ は、 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + 4 w^{2} = N$ を満たす整数の組 $(x, y, z, w) \in Z^{4}$ の個数である。 $R (2020)$ を求めよ。

なお、ヤコビの四平方定理（ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = n$ を満たす整数の組 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ の個数を $r_{4} (n)$ とすると、正の整数 $n$ に対して $r_{4} (n) = 8 \sum_{d ∣ n, 4 ∤ d} d$ ）は証明なしに用いてよい。

この問題で使うもの

四平方定理と条件つきの平方和の個数（説明と入口の問題）
テータ関数と二平方和（説明と入口の問題）
約数の個数と総和（説明と入口の問題）
合同式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$2 y^{2} + 2 z^{2}$ を $2$ つの平方の和に書き換え、問題を「偶奇の条件つきの四平方和」の個数に帰着させよ。

ヒント 2

$2 y^{2} + 2 z^{2} = (y + z)^{2} + (y - z)^{2}$ と $4 w^{2} = (2 w)^{2}$ を使うと、 $R (N)$ は $x^{2} + u^{2} + v^{2} + t^{2} = N$ , $u \equiv v (mod 2)$ , $t$ が偶数、を満たす解の個数になる。次に $2020 \equiv 4 (mod 8)$ から、奇数である成分の個数を $mod 8$ で調べよ。

ヒント 3

奇数である成分の個数は $0$ か $4$ である。 $4$ 個の場合は $t$ が奇数になるので除かれ、 $0$ 個の場合は条件が自動的に満たされる。よって $R (2020) = r_{4} (505)$ となる。

答えと解説

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4896

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解説を読む

1. 平方和への書き換え。
$2 y^{2} + 2 z^{2} = (y + z)^{2} + (y - z)^{2}$
である。写像 $(y, z) \mapsto (u, v) = (y + z, y - z)$ は $Z^{2}$ から ${(u, v) \in Z^{2} ∣ u \equiv v (mod 2)}$ への全単射である。逆写像は $y = \frac{u + v}{2}$ , $z = \frac{u - v}{2}$ で与えられる。

テータ関数の言葉でいえば、 $θ (q^{2})^{2} = \sum_{u \equiv v (2)} q^{u^{2} + v^{2}} = \frac{θ ( q ) ^{2} + θ ( - q ) ^{2}}{2}$ ということである。また $4 w^{2} = (2 w)^{2}$ である。したがって $R (N)$ は
$x^{2} + u^{2} + v^{2} + t^{2} = N, u \equiv v (mod 2), t \equiv 0 (mod 2)$
を満たす $(x, u, v, t) \in Z^{4}$ の個数に等しい。

2. $N = 2020$ での偶奇の分析。
$2020 = 4 \cdot 505$ で、 $505$ は奇数なので $2020 \equiv 4 (mod 8)$ である。奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余り、偶数の平方は $8$ で割って $0$ または $4$ 余る。

$x^{2} + u^{2} + v^{2} + t^{2} = 2020$ の解で、奇数である成分の個数を $k$ とする。まず $mod 2$ で考えると $k \equiv 2020 \equiv 0 (mod 2)$ であり、さらに $mod 4$ で考えると $k \equiv 0 (mod 4)$ である。よって $k = 0$ または $k = 4$ である。
- $k = 4$ のとき： $t$ が奇数になり、条件 $t \equiv 0$ に反する。よって除かれる。
- $k = 0$ のとき：すべての成分が偶数なので、条件 $u \equiv v$ , $t \equiv 0$ は自動的に満たされる。

したがって $R (2020)$ は、全成分が偶数である解の個数に等しい。 $(x, u, v, t) = 2 (x^{'}, u^{'}, v^{'}, t^{'})$ とおくと、これは $x^{'2} + u^{'2} + v^{'2} + t^{'2} = 505$ の解と一対一に対応する。よって
$R (2020) = r_{4} (505) .$

3. ヤコビの四平方定理の適用。
$505 = 5 \cdot 101$ は奇数なので、その約数はすべて $4$ で割り切れない。よって
$r_{4} (505) = 8 σ (505) = 8 (1 + 5) (1 + 101) = 8 \cdot 6 \cdot 102 = 4896.$

4. 検算（小さい $N$ ）。
同じ議論を $N = 4$ に適用すると $R (4) = r_{4} (1) = 8$ となる。直接数えると、 $x = \pm 2$ で $2$ 個、 $w = \pm 1$ で $2$ 個、 $(y, z) = (\pm 1, \pm 1)$ で $4$ 個、合わせて $8$ 個であり一致する。

以上より $R (2020) = 4896$ である。

別解

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + 4 w^{2} = 2020$ では、 $2 y^{2} + 2 z^{2} + 4 w^{2}$ が偶数なので $x$ は偶数である。 $x = 2 u$ とおくと $2 u^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 w^{2} = 1010$ となる。

このとき $y^{2} + z^{2}$ は偶数なので、 $y, z$ の偶奇は等しい。したがって $y = a + b, z = a - b$ （ $a = (y + z) /2, b = (y - z) /2$ ）と書け、 $(y, z)$ （偶奇が等しい組）と $(a, b) \in Z^{2}$ は一対一に対応する。このとき $y^{2} + z^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ である。

代入すると $2 u^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 w^{2} = 1010$ 、すなわち $u^{2} + a^{2} + b^{2} + w^{2} = 505$ となる。よって $R (2020) = r_{4} (505)$ である。

$505 = 5 \cdot 101$ は奇数なので、 $4 ∤ d$ はすべての約数 $d$ で成り立つ。ヤコビの四平方定理より $r_{4} (505) = 8 σ (505) = 8 \cdot (1 + 5) (1 + 101) = 8 \cdot 6 \cdot 102 = 4896$ 。

確認：変換 $(x, y, z, w) \mapsto (u, a, b, w)$ は、 $x$ が偶数、 $y, z$ の偶奇が等しいという条件のもとで全単射である。また $r_{4} (505)$ の各解からは逆変換で元の解が得られる。

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