テータ関数と二平方和

$θ (q)^{2} = 1 + 4 \sum (d_{1} (n) - d_{3} (n)) q^{n}$ を使って、 $x^{2} + y^{2} = n$ の整数解の個数 $r_{2} (n)$ を素因数分解から求められる

前提

約数の個数と総和（数学A 整数の性質）
合同式（数学A 整数の性質）
母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）

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算数中学高校大学大学院

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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
母関数と係数の取り出し（大学数学離散数学・組合せ論）

説明

テータ関数 $θ (q) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} q^{m^{2}} = 1 + 2 q + 2 q^{4} + 2 q^{9} + \dots$ を 2 乗すると、 $q^{n}$ の係数が $x^{2} + y^{2} = n$ の整数解 $(x, y)$ の個数 $r_{2} (n)$ になります。ヤコビの恒等式 $θ (q)^{2} = 1 + 4 \sum_{n \geq 1} (d_{1} (n) - d_{3} (n)) q^{n}$ （ $d_{j} (n)$ は $n$ の正の約数のうち $4$ で割って $j$ 余るものの個数）を使うと、 $r_{2} (n)$ を $n$ の素因数分解だけから計算できます。整数を二つの平方数の和で表す方法の個数を、実際に探さずに求めたいときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず母関数の見方です。 $θ (q)^{2} = (\sum_{x} q^{x^{2}}) (\sum_{y} q^{y^{2}}) = \sum_{x, y} q^{x^{2} + y^{2}}$ なので、 $q^{n}$ の係数は $x^{2} + y^{2} = n$ を満たす整数の組 $(x, y)$ （符号と順序を区別する）の個数 $r_{2} (n)$ です。例えば $q^{5}$ の係数は $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ の $8$ 個です。ヤコビの恒等式はこれが $4 (d_{1} (n) - d_{3} (n))$ に等しいと主張します（ $n = 5$ : 約数 $1, 5$ はともに $4$ で割って $1$ 余るので $4 (2 - 0) = 8$ で一致）。この恒等式の証明には楕円関数やモジュラー形式の道具が要るのでここでは認めて使いますが、小さい $n$ で係数を比べて確かめることができます。

次に $d_{1} (n) - d_{3} (n)$ を素因数分解から計算する理由です。 $χ (d)$ を、 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $1$ 、 $d \equiv 3 (mod 4)$ なら $- 1$ 、 $d$ が偶数なら $0$ と定めると、 $d_{1} (n) - d_{3} (n) = \sum_{d ∣ n} χ (d)$ です。合同式の積の性質から $1 \cdot 1 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 1$ , $1 \cdot 3 \equiv 3 (mod 4)$ であり、また $a, b$ の一方が偶数なら $ab$ も偶数なので、すべての正の整数 $a, b$ で $χ (ab) = χ (a) χ (b)$ が成り立ちます。 $n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots$ の約数は各 $p_{i}^{e_{i}}$ （ $0 \leq e_{i} \leq a_{i}$ ）を一つずつ選んだ積なので、約数の総和の公式と同じように展開を逆にたどって
$d ∣ n \sum χ (d) = i \prod (1 + χ (p_{i}) + χ (p_{i})^{2} + \dots + χ (p_{i})^{a_{i}})$
と因数分解できます。

各因子は、 $p = 2$ なら $χ (2) = 0$ で $1$ 、 $p \equiv 1 (mod 4)$ なら $χ (p) = 1$ で $a + 1$ 、 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $χ (p) = - 1$ で $1 - 1 + 1 - \dots$ となり、 $a$ が偶数なら $1$ 、奇数なら $0$ です。こうして $r_{2} (n)$ は「 $4 \times$ （各素因数ごとの因子の積）」として求まり、 $4$ で割って $3$ 余る素数が奇数乗で現れるときは $r_{2} (n) = 0$ （二平方和で表せない）ことも同時にわかります。

手順

$n$ を素因数分解し、素因数を $2$ 、 $4$ で割って $1$ 余る素数 $p$ 、 $4$ で割って $3$ 余る素数 $q$ に分ける: $n = 2^{c} \prod p_{i}^{a_{i}} \prod q_{j}^{b_{j}}$
$q_{j}$ の指数 $b_{j}$ に一つでも奇数があれば $d_{1} (n) - d_{3} (n) = 0$ 、したがって $r_{2} (n) = 0$
すべての $b_{j}$ が偶数なら $d_{1} (n) - d_{3} (n) = \prod_{i} (a_{i} + 1)$ （ $2$ と $q_{j}$ の因子はどれも $1$ ）
$r_{2} (n) = 4 (d_{1} (n) - d_{3} (n)) = 4 \prod_{i} (a_{i} + 1)$ を計算する
（確認）小さい $n$ なら $x^{2} + y^{2} = n$ を実際に探し、符号・順序を区別して数えた個数と一致するか見る

例題

$x^{2} + y^{2} = 450$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の個数 $r_{2} (450)$ を求めよ（ $x, y$ の符号や順序が異なるものは別の組として数える）。

例題の解答

【手順 1】 $450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ 。 $2$ はそのまま、 $5 \equiv 1 (mod 4)$ 、 $3 \equiv 3 (mod 4)$ と分類する。

【手順 2】 $4$ で割って $3$ 余る素数 $3$ の指数は $2$ （偶数）なので、 $r_{2} (450) = 0$ にはならない。

【手順 3】 $d_{1} (450) - d_{3} (450) = (2 の因子 1) \times (3^{2} の因子 1 - 1 + 1 = 1) \times (5^{2} の因子 1 + 1 + 1 = 3) = 3$ 。

【手順 4】 $r_{2} (450) = 4 \times 3 = 12$ 。

【手順 5（確認）】平方数を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ なので、 $x^{2} + y^{2} \equiv 0 (mod 3)$ となるのは $x \equiv y \equiv 0 (mod 3)$ のときだけである。 $∣ x ∣ \in {0, 3, 6, \dots, 21}$ で $450 - x^{2}$ が平方数になるものを探すと $450 = 3^{2} + 2 1^{2} = 1 5^{2} + 1 5^{2}$ 。 $(\pm 3, \pm 21), (\pm 21, \pm 3)$ が $8$ 個、 $(\pm 15, \pm 15)$ が $4$ 個で、合計 $12$ 個となり一致する。

答え: $12$

よくある誤り

$r_{2} (n)$ を「 $x \geq y \geq 0$ の組の個数」と取り違える誤り（例: $r_{2} (5) = 1$ ）。正しくは $θ (q)^{2}$ の係数は符号と順序を区別した個数で、 $r_{2} (5) = 4 (d_{1} (5) - d_{3} (5)) = 8$ （ $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ ）
$4$ で割って $3$ 余る素数の因子も $(b + 1)$ と数えてしまう誤り（例: $r_{2} (9) = 4 \cdot 3 = 12$ ）。正しくは $1 - 1 + 1 = 1$ なので $r_{2} (9) = 4$ （ $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ ）。また $b$ が奇数なら因子は $0$ で、例えば $r_{2} (3) = r_{2} (12) = 0$
素因数 $2$ の因子を $c + 1$ としてしまう誤り（例: $r_{2} (8) = 4 \cdot 4 = 16$ ）。正しくは偶数の約数は $d_{1}, d_{3}$ のどちらにも数えないので因子は $1$ で、 $r_{2} (8) = 4$ （ $(\pm 2, \pm 2)$ ）
係数の $4$ を忘れたり、 $d_{1} (n) + d_{3} (n)$ や約数の個数で計算してしまう誤り（例: $r_{2} (25) = d (25) = 3$ ）。正しくは $r_{2} (25) = 4 (d_{1} (25) - d_{3} (25)) = 4 \cdot 3 = 12$ （ $(\pm 5, 0), (0, \pm 5), (\pm 3, \pm 4), (\pm 4, \pm 3)$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$∣ q ∣ < 1$ を満たす複素数 $q$ に対してテータ関数を $θ (q) = \sum_{m \in Z} q^{m^{2}}$ とする。正の整数 $n$ に対し、 $d_{1} (n)$ , $d_{3} (n)$ をそれぞれ $n$ の正の約数のうち $4$ で割って $1$ 余るもの、 $3$ 余るものの個数とすると、 $θ (q)^{2} = 1 + 4 n = 1 \sum \infty (d_{1} (n) - d_{3} (n)) q^{n}$ が成り立つ。これを用いて、 $x^{2} + y^{2} = 450$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

四平方定理と条件つきの平方和の個数（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）