楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

正の整数 $n$ に対して $σ (n) = \sum_{d ∣ n, d > 0} d$ とし、 $n$ が正の整数でないときは $σ (n) = 0$ と定める。上半平面 $H = {τ \in C ∣ Im τ > 0}$ 上で $q = e^{2 π i τ}$ とおき、
$θ (τ) = n \in Z \sum q^{n^{2}}, E_{2} (τ) = 1 - 24 n = 1 \sum \infty σ (n) q^{n}$
とする。次の事実を用いてよい。

$f (τ) = θ (τ)^{2} θ (2 τ)^{2}$ は $Γ_{0} (8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
$Γ_{0} (8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $C$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、 $E_{2} (τ) - 2 E_{2} (2 τ)$ , $E_{2} (τ) - 4 E_{2} (4 τ)$ , $E_{2} (τ) - 8 E_{2} (8 τ)$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、 $r (N)$ を
$x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} + 2 w^{2} = N$
を満たす整数の組 $(x, y, z, w) \in Z^{4}$ の個数とする。 $r (2024)$ を求めよ。

この問題で使うもの

アイゼンシュタイン級数の q 展開（説明と入口の問題）
テータ関数と二平方和（説明と入口の問題）
母関数と係数の取り出し（説明と入口の問題）
約数の個数と総和（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$f = θ (τ)^{2} θ (2 τ)^{2}$ の $q^{N}$ の係数が $r (N)$ であることに注目し、 $f$ を与えられた基底の一次結合で表しましょう。

ヒント 2

基底を定数項が $1$ になるように正規化すると $G_{M} = 1 + \frac{24}{M - 1} \sum (σ (n) - M σ (n / M)) q^{n}$ となります。 $f = 1 + 4 q + 8 q^{2} + \dots$ と $q^{0}, q^{1}, q^{2}$ の係数を比べましょう。

ヒント 3

$f = \frac{1}{12} G_{2} - \frac{1}{4} G_{4} + \frac{7}{6} G_{8}$ となり、 $r (n) = 4 σ (n) - 4 σ (n /2) + 8 σ (n /4) - 32 σ (n /8)$ が得られます。あとは $2024 = 8 \cdot 253$ に代入します。

答えと解説

答えを見る

6912

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. $f$ の $q$ 展開と $r (N)$ の関係

$θ (τ)^{2} θ (2 τ)^{2} = \sum_{x, y, z, w \in Z} q^{x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} + 2 w^{2}}$ なので $f = \sum_{N \geq 0} r (N) q^{N}$ である。

$θ (τ)^{2} = 1 + 4 q + 4 q^{2} + 0 \cdot q^{3} + \dots$ 、 $θ (2 τ)^{2} = 1 + 4 q^{2} + \dots$ より
$f = 1 + 4 q + (4 + 4) q^{2} + \dots = 1 + 4 q + 8 q^{2} + \dots$
となる。

2. 基底の正規化

$M = 2, 4, 8$ に対して $G_{M} = \frac{E _{2} ( τ ) - M E _{2} ( M τ )}{1 - M}$ とおくと、
$G_{M} = 1 + \frac{24}{M - 1} n \geq 1 \sum (σ (n) - M σ (n / M)) q^{n}$
である。 $G_{2}, G_{4}, G_{8}$ のはじめの係数は次のとおり。

$G_{2} = 1 + 24 q + 24 (3 - 2) q^{2} + \dots = 1 + 24 q + 24 q^{2} + \dots$
$G_{4} = 1 + 8 q + 24 q^{2} + \dots$
$G_{8} = 1 + \frac{24}{7} q + \frac{72}{7} q^{2} + \dots$

3. 係数の決定

$f = a G_{2} + b G_{4} + c G_{8}$ と書ける。 $q^{0}, q^{1}, q^{2}$ の係数を比べると
$a + b + c = 1, 24 a + 8 b + \frac{24}{7} c = 4, 24 a + 24 b + \frac{72}{7} c = 8.$
第3式から第2式を引くと $16 b + \frac{48}{7} c = 4$ 、すなわち $4 b + \frac{12}{7} c = 1$ である。

第1式を $24$ 倍して第2式を引くと $16 b + \frac{144}{7} c = 20$ 、すなわち $4 b + \frac{36}{7} c = 5$ である。

この2式から $\frac{24}{7} c = 4$ なので $c = \frac{7}{6}$ 、 $b = - \frac{1}{4}$ となり、第1式から $a = \frac{1}{12}$ を得る。

4. $r (n)$ の一般式

$q^{n}$ （ $n \geq 1$ ）の係数を比べると
$r (n) = \frac{1}{12} \cdot 24 (σ (n) - 2 σ (\frac{n}{2})) - \frac{1}{4} \cdot 8 (σ (n) - 4 σ (\frac{n}{4})) + \frac{7}{6} \cdot \frac{24}{7} (σ (n) - 8 σ (\frac{n}{8})) .$
整理すると
$r (n) = 4 σ (n) - 4 σ (\frac{n}{2}) + 8 σ (\frac{n}{4}) - 32 σ (\frac{n}{8})$
となる。

検算として $n = 3$ を調べる。直接数えると、 $x^{2} + y^{2} = 1$ が $4$ 通り、 $z^{2} + w^{2} = 1$ が $4$ 通りなので $16$ 通りである。式からは $4 σ (3) = 16$ となり、一致する。

5. $N = 2024$ の計算

$2024 = 2^{3} \cdot 11 \cdot 23$ であり、 $σ (253) = (1 + 11) (1 + 23) = 288$ である。よって

$σ (2024) = 15 \cdot 288 = 4320$
$σ (1012) = 7 \cdot 288 = 2016$
$σ (506) = 3 \cdot 288 = 864$
$σ (253) = 288$

したがって
$r (2024) = 4 \cdot 4320 - 4 \cdot 2016 + 8 \cdot 864 - 32 \cdot 288 = 17280 - 8064 + 6912 - 9216 = 6912.$

（一般に $n = 2^{k} m$ （ $m$ は奇数、 $k \geq 2$ ）なら $r (n) = 24 σ (m)$ となり、 $24 \cdot 288 = 6912$ と一致する。）

答えは $6912$ である。

別解

$f (τ) = θ (τ)^{2} θ (2 τ)^{2} = \sum_{N \geq 0} r (N) q^{N}$ である。与えられた基底を使って $f = a (E_{2} (τ) - 2 E_{2} (2 τ)) + b (E_{2} (τ) - 4 E_{2} (4 τ)) + c (E_{2} (τ) - 8 E_{2} (8 τ))$ とおく。

$E_{2} (τ) - m E_{2} (m τ) = (1 - m) - 24 \sum σ (n) q^{n} + 24 m \sum σ (n) q^{mn}$ なので、係数を比較する。

定数項: $- a - 3 b - 7 c = 1$
$q^{1}$ : $r (1) = 4$ より $- 24 (a + b + c) = 4$ 、よって $a + b + c = - 1/6$
$q^{2}$ : $r (2) = 8$ 。 $x^{2} + y^{2} = 2$ が 4 通り、 $z^{2} + w^{2} = 1$ が 4 通りなので計 8。係数は $- 72 (a + b + c) + 48 a = 12 + 48 a = 8$ 、よって $a = - 1/12$
$q^{4}$ : $r (4) = 24$ 。 $x^{2} + y^{2} = 4$ が 4 通り、 $x^{2} + y^{2} = 2$ かつ $z^{2} + w^{2} = 1$ が $4 \cdot 4 = 16$ 通り、 $x = y = 0$ かつ $z^{2} + w^{2} = 2$ が 4 通りなので計 24。係数は $28 + 144 a + 96 b = 16 + 96 b = 24$ 、よって $b = 1/12$
したがって $c = - 1/6 - a - b = - 1/6$

定数項の検算: $1/12 - 3/12 + 7/6 = 1$ となり成立する。

よって $N \geq 1$ に対して
$r (N) = 4 σ (N) - 4 σ (N /2) + 8 σ (N /4) - 32 σ (N /8)$
である。 $N = 2, 4$ では $8$ 、 $24$ となり、直接数えた値と一致する。

$2024 = 8 \cdot 11 \cdot 23$ なので次のようになる。
- $σ (2024) = 15 \cdot 12 \cdot 24 = 4320$
- $σ (1012) = 7 \cdot 12 \cdot 24 = 2016$
- $σ (506) = 3 \cdot 12 \cdot 24 = 864$
- $σ (253) = 12 \cdot 24 = 288$

$r (2024) = 17280 - 8064 + 6912 - 9216 = 6912.$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる