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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n, d > 0} d^{k}$ とする。上半平面 $H$ 上で $q = e^{2 π i τ}$ （ $τ \in H$ ）とし、
$E_{2} = 1 - 24 n = 1 \sum \infty σ_{1} (n) q^{n}, E_{4} = 1 + 240 n = 1 \sum \infty σ_{3} (n) q^{n}, E_{6} = 1 - 504 n = 1 \sum \infty σ_{5} (n) q^{n}$
とおく。 $E_{4}, E_{6}$ は $SL_{2} (Z)$ に関する重さ $4, 6$ の正則モジュラー形式であり、 $E_{2}$ はモジュラー形式ではない。 $D = q \frac{d}{d q} = \frac{1}{2 π i} \frac{d}{d τ}$ とし、重さ $k$ の正則モジュラー形式 $f$ に対して $ϑ_{k} f = D f - \frac{k}{12} E_{2} f$ は重さ $k + 2$ の正則モジュラー形式になること（セールの微分）、および $SL_{2} (Z)$ に関する重さ $6$ の正則モジュラー形式全体のなす $C$ 上の線形空間は $1$ 次元であることを用いてよい。

このとき
$S = m = 1 \sum 11 σ_{1} (m) σ_{3} (12 - m)$
の値を求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

$ϑ_{4} E_{4}$ が重さ $6$ の正則モジュラー形式であることと、重さ $6$ の空間が $1$ 次元であることから、 $E_{2} E_{4}$ を $E_{6}$ と $D E_{4}$ で表してみよう。

ヒント 2

定数項を比べると $ϑ_{4} E_{4} = - \frac{1}{3} E_{6}$ 、すなわち $E_{2} E_{4} = E_{6} + 3 D E_{4}$ が得られる。両辺の $q^{n}$ の係数を比べる。

ヒント 3

係数比較から $\sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{1} (m) σ_{3} (n - m) = \frac{21 σ _{5} ( n ) + ( 10 - 30 n ) σ _{3} ( n ) - σ _{1} ( n )}{240}$ が出る。あとは $n = 12$ の約数関数の値を代入する。

答えと解説

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19586

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解説を読む

1. 恒等式の導出. $ϑ_{4} E_{4} = D E_{4} - \frac{1}{3} E_{2} E_{4}$ は重さ $6$ の正則モジュラー形式であり、その空間は $1$ 次元で $E_{6}$ で張られるから $ϑ_{4} E_{4} = c E_{6}$ と書ける。定数項を比べると、 $D E_{4}$ の定数項は $0$ 、 $E_{2} E_{4}$ の定数項は $1$ なので $c = - \frac{1}{3}$ 。よって
$E_{2} E_{4} = E_{6} + 3 D E_{4} .$

2. 係数比較. $n \geq 2$ に対して $q^{n}$ の係数を比べる。左辺は
$240 σ_{3} (n) - 24 σ_{1} (n) - 24 \cdot 240 m = 1 \sum n - 1 σ_{1} (m) σ_{3} (n - m),$
右辺は $- 504 σ_{5} (n) + 3 \cdot 240 n σ_{3} (n)$ 。整理して $5760$ で割ると
$m = 1 \sum n - 1 σ_{1} (m) σ_{3} (n - m) = \frac{21 σ _{5} ( n ) + ( 10 - 30 n ) σ _{3} ( n ) - σ _{1} ( n )}{240} .$
（確認: $n = 2$ のとき $\frac{21 \cdot 33 - 50 \cdot 9 - 3}{240} = \frac{240}{240} = 1 = σ_{1} (1) σ_{3} (1)$ 。）

3. $n = 12$ の計算. $12$ の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ なので
$σ_{1} (12) = 28$ , $σ_{3} (12) = 1 + 8 + 27 + 64 + 216 + 1728 = 2044$ , $σ_{5} (12) = 1 + 32 + 243 + 1024 + 7776 + 248832 = 257908$ 。
よって
$S = \frac{21 \cdot 257908 + ( 10 - 360 ) \cdot 2044 - 28}{240} = \frac{5416068 - 715400 - 28}{240} = \frac{4700640}{240} = 19586.$

（検算: $σ_{1} (1), \dots, σ_{1} (11) = 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12$ 、 $σ_{3} (11), \dots, σ_{3} (1) = 1332, 1134, 757, 585, 344, 252, 126, 73, 28, 9, 1$ より、積の和は $1332 + 3402 + 3028 + 4095 + 2064 + 3024 + 1008 + 1095 + 364 + 162 + 12 = 19586$ で一致する。）

答え: $19586$

別解

直接計算する。 $σ_{1} (1), \dots, σ_{1} (11) = 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12$ 、 $σ_{3} (1), \dots, σ_{3} (11) = 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, 1332$ である。

各項 $σ_{1} (m) σ_{3} (12 - m)$ は $m = 1, \dots, 11$ の順に
$1332, 3402, 3028, 4095, 2064, 3024, 1008, 1095, 364, 162, 12$
となり、和は $19586$ である。

検算（セールの微分を用いる）: $ϑ_{4} E_{4} = D E_{4} - \frac{1}{3} E_{2} E_{4}$ は重さ 6 の正則モジュラー形式である。重さ 6 の空間は 1 次元で $E_{6}$ が生成するので、 $ϑ_{4} E_{4} = c E_{6}$ と書ける。 $q^{0}$ の係数を比べると $- \frac{1}{3} = c$ である。よって $E_{2} E_{4} = 3 D E_{4} + E_{6}$ が成り立つ。

この式の $q^{12}$ の係数を比べる。左辺は $- 24 σ_{1} (12) + 240 σ_{3} (12) - 5760 S$ である。右辺は $3 \cdot 12 \cdot 240 σ_{3} (12) - 504 σ_{5} (12)$ である。

$σ_{1} (12) = 28$ 、 $σ_{3} (12) = 2044$ 、 $σ_{5} (12) = 257908$ を代入すると
$489888 - 5760 S = 17660160 - 129985632 = - 112325472$
となる。したがって $5760 S = 112815360$ で、 $S = 19586$ となり、直接計算と一致する。

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