留数定理による複素積分

閉曲線の内部にある特異点を求め、 $\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum Res f$ を使って、極や真性特異点を含む関数の複素積分の値を求められる

前提

留数の計算（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）

説明

留数定理を使うと、閉曲線 $C$ に沿う複素積分 $\oint_{C} f (z) d z$ を、パラメータ表示で直接計算せずに求められます。必要なのは「 $C$ の内部にある特異点」と「そこでの留数」だけです。極が複数ある有理関数や、 $e^{1/ z}$ のように真性特異点をもつ関数の積分にも使えます。実積分を複素積分に直して計算するときにも、最後はこの技能を使います。

なぜそうしてよいのか

$C$ を向きの付いた単純閉曲線とします。自分自身と交わらない閉曲線で、内部を左手に見て進む向き（円なら反時計回り）を正の向きといいます。 $f$ は $C$ 上と $C$ の内部で、有限個の点 $a_{1}, \dots, a_{k}$ を除いて正則だとします。各 $a_{j}$ を中心に小さな円 $γ_{j}$ （反時計回り）をとります。円は互いに交わらず、 $C$ の内部に収まる大きさにします。 $C$ と $γ_{1}, \dots, γ_{k}$ にはさまれた領域では $f$ は正則です。そこで $C$ と各 $γ_{j}$ を切れ目の線分で結ぶと、領域を一周する 1 本の閉曲線ができます。この閉曲線にコーシーの積分定理を使います。切れ目の線分は行きと帰りで 2 回逆向きに通るので、その分の積分は打ち消し合います。その結果 $\oint_{C} f (z) d z = j = 1 \sum k \oint_{γ_{j}} f (z) d z$ となり、大きな曲線の積分は各特異点を囲む小円の積分の和に置き換わります。

次に小円 $γ_{j}$ 上では、 $f$ を $a_{j}$ のまわりでローラン展開して $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - a_{j})^{n}$ と書けます。この級数は円周上で一様に収束するので、項ごとに積分してかまいません。前提の技能より $\oint_{γ_{j}} (z - a_{j})^{n} d z$ は $n = - 1$ のときだけ $2 π i$ で、ほかはすべて $0$ です。したがって残るのは $2 π i c_{- 1}$ だけです。この $c_{- 1}$ が留数 $Res_{z = a_{j}} f (z)$ です。

以上をまとめると、留数定理 $\oint_{C} f (z) d z = 2 π i a_{j} は C の内部 \sum Res_{z = a_{j}} f (z)$ が得られます。積分の値は内部の特異点の情報だけで決まり、 $C$ の外にある特異点はまったく関係しません。

手順

前提を確かめる: $C$ が単純閉曲線で向きが正（反時計回り）であること、 $f$ が $C$ 上で正則で、内部では有限個の孤立特異点を除いて正則であることを確認する。
$f$ の特異点（分母の零点、 $e^{1/ z}$ の $z = 0$ など）をすべて求め、それぞれが $C$ の内部か外部かを判定する。円 $∣ z - c ∣ = r$ なら $∣ a - c ∣ < r$ のとき内部。特異点が $C$ 上にあるときは、この定理をそのままは使えない。
内部にある特異点ごとに種類（何位の極か、真性特異点か）を調べ、留数を求める。1 位の極は $lim_{z \to a} (z - a) f (z)$ 、 $m$ 位の極は $\frac{1}{( m - 1 )!} lim_{z \to a} \frac{d ^{m - 1}}{d z ^{m - 1}} {(z - a)^{m} f (z)}$ 、真性特異点はローラン展開の $(z - a)^{- 1}$ の係数を使う。
内部の留数をすべて足し、 $2 π i$ を掛ける: $\oint_{C} f d z = 2 π i \sum Res f$ 。 $C$ が時計回りなら符号を反転する。

例題

$C$ を反時計回りの円 $∣ z ∣ = 2$ とする。複素積分 $\oint_{C} \frac{d z}{z ^{2} ( z - 1 ) ( z - 3 )}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $C$ は反時計回りの円なので正の向きの単純閉曲線です。被積分関数 $f (z) = \frac{1}{z ^{2} ( z - 1 ) ( z - 3 )}$ は有理関数で、分母の零点以外では正則です。

【手順2】特異点は $z = 0, 1, 3$ です。 $∣0∣ = 0 < 2$ 、 $∣1∣ = 1 < 2$ なので $z = 0, 1$ は内部にあります。 $∣3∣ = 3 > 2$ なので $z = 3$ は外部です。 $∣ z ∣ = 2$ 上に特異点はありません。

【手順3】 $z = 1$ は 1 位の極です。 $Res_{z = 1} f = z \to 1 lim (z - 1) f (z) = \frac{1}{1 ^{2} \cdot ( 1 - 3 )} = - \frac{1}{2} .$ $z = 0$ は 2 位の極なので、 $m = 2$ の公式を使います。 $g (z) = z^{2} f (z) = \frac{1}{( z - 1 ) ( z - 3 )} = \frac{1}{z ^{2} - 4 z + 3}$ とおくと $g^{'} (z) = - \frac{2 z - 4}{( z ^{2} - 4 z + 3 ) ^{2}}$ です。よって $Res_{z = 0} f = \frac{1}{1 !} g^{'} (0) = - \frac{- 4}{3 ^{2}} = \frac{4}{9} .$

【手順4】内部の留数の和は $\frac{4}{9} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{18}$ です。したがって $\oint_{C} \frac{d z}{z ^{2} ( z - 1 ) ( z - 3 )} = 2 π i \cdot (- \frac{1}{18}) = - \frac{π i}{9} .$ 外部の $z = 3$ の留数 $\frac{1}{18}$ は加えません。

答え: $- \frac{π i}{9}$

よくある誤り

$C$ の外部にある特異点の留数まで足してしまう誤り。正しくは内部の特異点だけを使う。例題で $z = 3$ の留数 $\frac{1}{18}$ も足すと $2 π i \cdot 0 = 0$ となり誤り。正しい値は $- \frac{π i}{9}$ 。
2 位以上の極に 1 位の極の公式 $lim (z - a) f (z)$ を使ってしまう誤り。例題の $z = 0$ では、この極限は発散して値が定まらない。正しくは $(z - a)^{m} f (z)$ を $m - 1$ 回微分し、 $\frac{1}{( m - 1 )!}$ を掛けてから $z \to a$ とする。
真性特異点で留数を極の公式から求めようとする誤り。例えば $\oint_{∣ z ∣ = 1} e^{1/ z} d z$ では、 $e^{1/ z} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2 ! z ^{2}} + \dots$ の $z^{- 1}$ の係数 $1$ が留数になり、積分の値は $2 π i$ 。
向きや特異点の位置を確認しない誤り。時計回りの曲線なら値は $- 2 π i \sum Res f$ になる。特異点が $C$ 上にある場合（例: $∣ z ∣ = 1$ 上の $\frac{1}{z - 1}$ ）は、積分そのものが通常の意味で定義されないので、留数定理は適用できない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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遅延グリーン関数と $i ε$ 処方（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
ファインマン伝播関数と iε 処方（大学院物理場の量子論）