ファインマン伝播関数と iε 処方

時間順序積 $⟨ 0∣ T ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩$ を運動量表示 $D_{F} (x - y) = \int \frac{d ^{4} p}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} e^{- i p \cdot (x - y)}$ で書き、 $p^{0}$ 積分を留数定理で行って極の位置と時間順序の対応を確かめ、ウィック回転でユークリッド伝播関数に移れる

前提

自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

説明

場の量子論で摂動計算の線（内線）になるのが、時間順序積の真空期待値 $D_{F} (x - y) = ⟨ 0∣ T ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩$ です。この技能では、これが 4 元運動量の積分 $\int \frac{d ^{4} p}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} e^{- i p \cdot (x - y)}$ で書けることを、 $p^{0}$ 積分を留数定理で計算して確かめます。分母の $+ i ε$ が二つの極をどちらへずらすかが、「どちらの時刻が後か」に応じて正しい項を選び出す仕組みになっています。さらに、 $p^{0}$ の積分路を虚軸へ回す（ウィック回転）と、振動しない扱いやすいユークリッドの積分に移れることも学びます。

なぜそうしてよいのか

自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ 、 $E_{p} = p^{2} + m^{2}$ とします。時間順序積は $T ϕ (x) ϕ (y) = ϕ (x) ϕ (y)$ （ $x^{0} > y^{0}$ ）、 $ϕ (y) ϕ (x)$ （ $x^{0} < y^{0}$ ）で、モード展開から $⟨ 0∣ ϕ (x) ϕ (y) ∣0 ⟩ = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} e^{- i E_{p} (x^{0} - y^{0}) + i p \cdot (x - y)}$ です。 $x^{0} < y^{0}$ の場合は $x, y$ を入れ替え、積分変数を $p \to - p$ とすれば $e^{- i E_{p} ∣ x^{0} - y^{0} ∣}$ の形にそろいます。つまり $τ = x^{0} - y^{0}$ として、どちらの場合も
$D_{F} = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{e ^{- i E_{p} ∣ τ ∣}}{2 E _{p}} e^{i p \cdot (x - y)}$
で、「正の振動数 $e^{- i E_{p} τ}$ は未来へ、負の振動数 $e^{+ i E_{p} τ}$ は過去へ」伝わります。

この $\frac{e ^{- i E_{p} ∣ τ ∣}}{2 E _{p}}$ を 1 変数の積分で表すのが $i ε$ 処方です。 $\frac{i}{( p ^{0} ) ^{2} - E _{p}^{2} + i ε}$ の極は $(p^{0})^{2} = E_{p}^{2} - i ε$ から $p^{0} = \pm (E_{p} - i ε^{'})$ （ $ε^{'} = ε /2 E_{p} > 0$ ）で、 $+ E_{p}$ の極は実軸の少し下、 $- E_{p}$ の極は少し上にずれます。 $e^{- i p^{0} τ}$ は $τ > 0$ なら下半平面で、 $τ < 0$ なら上半平面で減衰する（ $p^{0} = R e^{i θ}$ で $∣ e^{- i p^{0} τ} ∣ = e^{τ R s i n θ}$ ）ので、積分路をそちらに閉じます。被積分関数は $1/ R^{2}$ で減るので大きな半円の寄与は消えます。 $τ > 0$ では下半平面の $p^{0} = E_{p}$ を時計回り（ $- 2 π i$ ）に拾い
$\int \frac{d p ^{0}}{2 π} \frac{i e ^{- i p^{0} τ}}{( p ^{0} - E _{p} ) ( p ^{0} + E _{p} )} = \frac{- 2 π i}{2 π} \cdot \frac{i e ^{- i E_{p} τ}}{2 E _{p}} = \frac{e ^{- i E_{p} τ}}{2 E _{p}},$
$τ < 0$ では上半平面の $p^{0} = - E_{p}$ を反時計回り（ $+ 2 π i$ ）に拾って $\frac{e ^{i E_{p} τ}}{2 E _{p}} = \frac{e ^{- i E_{p} ∣ τ ∣}}{2 E _{p}}$ となり、時間順序積と完全に一致します。 $p^{0}$ と $p$ をあわせて $p^{2} = (p^{0})^{2} - p^{2}$ と書けば $D_{F} (x - y) = \int \frac{d ^{4} p}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} e^{- i p \cdot (x - y)}$ です。

極は第 2 象限（ $- E_{p} + i ε^{'}$ ）と第 4 象限（ $E_{p} - i ε^{'}$ ）にあるので、第 1・第 3 象限には極がありません。そこで（ $τ = 0$ のように指数因子がないとき、または運動量空間の積分で）実軸上の $p^{0}$ 積分路を、原点のまわりに反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回して虚軸に重ねても、コーシーの積分定理により値は変わりません。 $p^{0} = i p^{4}$ （ $p^{4}$ は実数）と置くと $d p^{0} = i d p^{4}$ 、 $p^{2} = - (p^{4})^{2} - p^{2} \equiv - p_{E}^{2}$ なので
$\int \frac{d ^{4} p}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} F (p^{2}) = \int \frac{d ^{4} p _{E}}{( 2 π ) ^{4}} \frac{1}{p _{E}^{2} + m ^{2}} F (- p_{E}^{2})$
となり、分母が正で $i ε$ のいらない積分（ユークリッド伝播関数 $\frac{1}{p _{E}^{2} + m ^{2}}$ ）に移れます。

手順

時間順序積を $x^{0} > y^{0}$ と $x^{0} < y^{0}$ に分け、それぞれモード展開で $\int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{2 E _{p}} e^{\mp i E_{p} τ + i p \cdot (x - y)}$ の形に書く（ $τ = x^{0} - y^{0}$ ）。
$p^{0}$ 積分 $\int \frac{d p ^{0}}{2 π} \frac{i e ^{- i p^{0} τ}}{( p ^{0} ) ^{2} - E _{p}^{2} + i ε}$ の極を求める: $p^{0} = E_{p} - i ε^{'}$ （下半平面）、 $p^{0} = - E_{p} + i ε^{'}$ （上半平面）。
$τ > 0$ なら下半平面で時計回りに閉じて $p^{0} = E_{p}$ の留数を $- 2 π i$ 倍、 $τ < 0$ なら上半平面で反時計回りに閉じて $p^{0} = - E_{p}$ の留数を $+ 2 π i$ 倍する。どちらも $\frac{e ^{- i E_{p} ∣ τ ∣}}{2 E _{p}}$ になることを確かめる。
ウィック回転では、極のない第 1・第 3 象限を通して積分路を虚軸へ回し、 $p^{0} = i p^{4}$ 、 $d p^{0} = i d p^{4}$ 、 $p^{2} = - p_{E}^{2}$ と置き換えて $\frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} d^{4} p \to \frac{1}{p _{E}^{2} + m ^{2}} d^{4} p_{E}$ とする。

例題

$E > 0$ 、 $ε \to + 0$ として、 $p^{0}$ についての積分
$f (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d p ^{0}}{2 π} \frac{i}{( p ^{0} ) ^{2} - E ^{2} + i ε} e^{- i p^{0} τ}$
を考える。 $E = 3$ 、 $τ = - 2$ のときの $f (τ)$ の値を、留数定理を使って求めよ。

例題の解答

手順 1・2: 分母 $= 0$ より $p^{0} = \pm E^{2} - i ε \approx \pm (E - i ε^{'})$ 。極は $p^{0} = E - i ε^{'}$ （下半平面）と $p^{0} = - E + i ε^{'}$ （上半平面）。

手順 3: $τ = - 2 < 0$ なので、 $p^{0} = R e^{i θ}$ で $∣ e^{- i p^{0} τ} ∣ = e^{τ R s i n θ}$ は上半平面（ $sin θ > 0$ ）で減衰する。上半平面で反時計回りに閉じ、 $p^{0} = - E$ の極を拾う。そこでの留数は
$Res_{p^{0} = - E} \frac{i e ^{- i p^{0} τ}}{( p ^{0} - E ) ( p ^{0} + E )} = \frac{i e ^{i E τ}}{- 2 E} .$
よって
$f (τ) = \frac{1}{2 π} \cdot 2 π i \cdot \frac{i e ^{i E τ}}{- 2 E} = \frac{e ^{i E τ}}{2 E} = \frac{e ^{- i E ∣ τ ∣}}{2 E} .$
$E = 3, τ = - 2$ を代入すると
$f (- 2) = \frac{e ^{- 6 i}}{6} .$
（ $τ < 0$ でも負の振動数 $e^{+ i E τ}$ が現れ、 $e^{- i E ∣ τ ∣}$ の形になっていることが時間順序積との対応である。）

答え: $\frac{1}{6} e^{- 6 i}$

よくある誤り

$i ε$ による極のずれを逆にしてしまう誤り。 $(p^{0})^{2} = E^{2} - i ε$ から $p^{0} = + E$ の極は下（ $E - i ε^{'}$ ）、 $p^{0} = - E$ の極は上（ $- E + i ε^{'}$ ）に動く。両方とも下に置くと $τ < 0$ で 0 になる遅延伝播関数になり、時間順序積 $\frac{e ^{- i E ∣ τ ∣}}{2 E}$ にならない。
積分路の閉じ方の向きと $\pm 2 π i$ を取り違える誤り。 $τ > 0$ で下半平面に閉じると時計回りなので $- 2 π i \sum Res$ 。ここで $+ 2 π i$ を使うと $f (τ) = - \frac{e ^{- i E τ}}{2 E}$ と符号が逆になる。
ウィック回転の向きを逆にして $p^{0} = - i p^{4}$ と回してしまう誤り。時計回りに回すと第 2・第 4 象限を横切って極をまたぐので、値が変わる。極のない第 1・第 3 象限を通る反時計回りの回転 $p^{0} = i p^{4}$ が正しく、 $\int \frac{d p ^{0}}{2 π} \frac{i}{( p ^{0} ) ^{2} - E ^{2} + i ε} = \int \frac{d p ^{4}}{2 π} \frac{1}{( p ^{4} ) ^{2} + E ^{2}} = \frac{1}{2 E}$ となる。
ウィック回転で $d p^{0} = i d p^{4}$ のヤコビアンの $i$ を落とし、 $\frac{i}{p ^{2} - m ^{2}} d^{4} p \to \frac{- i}{p _{E}^{2} + m ^{2}} d^{4} p_{E}$ としてしまう誤り。 $i \cdot \frac{i}{- p _{E}^{2} - m ^{2}} = \frac{1}{p _{E}^{2} + m ^{2}}$ なので、正しくは虚数単位が消えた正の被積分関数になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $m$ の自由な実スカラー場のファインマン伝播関数
$D_{F} (x - y) = \int \frac{d ^{4} p}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{p ^{2} - m ^{2} + i ε} e^{- i p \cdot (x - y)}$
で、空間運動量 $p$ を固定したときの $p^{0}$ 積分
$I (t) = ε \to + 0 lim \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d p ^{0}}{2 π} \frac{i e ^{- i p^{0} t}}{( p ^{0} ) ^{2} - E ^{2} + i ε}$
を考える。ここで $E = ∣ p ∣^{2} + m^{2} > 0$ である。
$t > 0$ のとき、 $I (t)$ を $E$ と $t$ の式で求めよ。

この技能の次に学べること

ウィックの定理と縮約の数え上げ（大学院物理場の量子論）
次元正則化の 1 ループ積分（大学院物理場の量子論）